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1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( ) A．|x－y|＜ε C．|x－y|＞2ε
B．|x－y|＜2ε D．|x－y|＞ε
解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε. 答案：B
2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( ) A．|a＋b|＞a－b C．|a＋b|≤|a|＋|b|
B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)
?ba?D.?＋?≥2 ?ab?
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立． 答案：A
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．5 C．8
B．4 D．7
解析：由题意得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
|a|－|b||a|＋|b|
4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
|a－b||a＋b|A．m>n C．m＝n
B．m |a|－|b| ≤1≤ |a－b| 解析：由绝对值三角不等式知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，所以|a|＋|b| . |a＋b| 答案：D 5．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．[－1，4] B．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 2 1 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. C．(－∞，－2)∪[5，＋∞) D．[－2，5] 解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a－3a对任意实数x恒成立，只需a－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：A 二、填空题 6．“|x－A|＜且|y－A|＜”是“|x－y|＜q”的________条件． 22解析：因为|x－y|＝|(x－A)－(y－A)|≤|x－A|＋|y－A|＜＋＝q. 22所以充分性成立． 反之若|x－y|＜q不能推出|x－A|＜且|y－A|＜成立． 22答案：充分不必要 7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值． 因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1， 即f(x)max＝1，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 8．已知α，β是实数，给出三个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α＋β|＞5； ③|α|＞22，|β|＞22. 以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________． 解析：①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5. 答案：①③?② 三、解答题 2 2 qqqqqq?1?9．(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝?x＋?＋|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2. ? a? 证明：由a＞0，有 f(x)＝?x＋?＋|x－a|≥?x＋－（x－a）?＝＋a≥2. ?a??a?a所以f(x)≥2. 10．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． ? 1? ? 1 ?1 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 解：法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， 所以－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. 所以ymax＝4，ymin＝－4. 法二 把函数看作分段函数． 4，x＜－1，?? y＝|x－3|－|x＋1|＝?2－2x，－1≤x≤3， ??－4，x＞3.所以－4≤y≤4.所以ymax＝4，ymin＝－4. B级 能力提升 1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( ) A．1 C．3 B．2 D．4 解析：因为x，y∈R，所以|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， 所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3. 所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. 答案：C 2．以下三个命题： (1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； (2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ?x?2 (3)若|x|＜2，|y|＞3，则??＜. ?y?3 其中正确的有________个． 解析：(1)因为|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1，所以(1)正确．(2)因为|a＋ ?x?b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，所以(2)正确．(3)因为|x|＜2，|y|＞3，所以???y? 2 ＜，所以(3)正确． 3 答案：3 3．若f(x)＝x－x＋c(为常数)，且|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 证明：|f(x)－f(a)| ＝|(x－x＋c)－(a－a＋c)| ＝|x－x－a＋a| ＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a|·|x＋a－1| 3 2 2 2 2 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ＜|x＋a－1| ＝|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1|. 又|x－a|＜1， 所以|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1＜1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)． 4
2024年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式高效演练新人
