第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析 根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”. 答案 D
2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要条件 C.必要不充分条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为x2-2x+1=0有两个相等的实数根为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 答案 A
3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,则“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 m?α,m∥β的必要不充分条件. 答案 B
14.(2017·安徽江南十校联考)“a=0”是“函数f(x)=sin x-x+a为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
α∥β,但m?α,α∥β?m∥β,∴“m∥β”是“α∥β”
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解析 显然a=0时,f(x)=sin x-x为奇函数;
当f(x)为奇函数时,f(-x)+f(x)=0. 又f(-x)+f(x)=sin(-x)-因此2a=0,故a=0.
所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 答案 C
5.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件
C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,
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即m≥-4,不能推出m>0.所以不是真命题. 答案 C
6.设x∈R,则“1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 11 +a+sin x-x+a=0. -x 解析 由|x-2|<1,得1 7.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞) C.[-1,+∞) B.(-∞,1] D.(-∞,-3] 解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 答案 A 8.(2017·佛山模拟)已知a,b都是实数,那么“a>b”是“lna>lnb”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由lna>lnb?a>b>0?a>b,故必要性成立. 当a=1,b=0时,满足a>b,但lnb无意义,所以lna>lnb不成立,故充分性不成立. 答案 B 二、填空题 9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 答案 2 10.“sin α=cosα”是“cos 2α=0”的________条件. 解析 cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0, 即cosα=±sin α. 由cosα=sin α得到cos 2α=0;反之不成立. ∴“sin α=cosα”是“cos 2α=0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 11.已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. 解析 令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0 ①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆