导数一章教学
本章主要内容为平均变化率，导数的概念，几种常见函数的导数、函数和、差、积、商的导数，简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，函数在实际生活中的应用，曲边梯形的面积，定积分以及微积分基本定理。高考对“导数”的考查要求分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线的斜率，求导法则）以及微积分基本定理；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决实际应用问题（如利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题以及一些图形的面积），将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布等有机结合在一起，设计综合试题。
一、学习要求：
（1）导数的概念：了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义。
（2）导数的运算：①理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，
y?1, y=x的导数；②了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用x导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。
（3）导数在研究函数中的应用：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值。
（4）导数在实际生活中的应用：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分：了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分。直观了解微积分基本定理的含义。
二、教学建议与方法点拨：
教学中应注意以下问题：
（1）导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。
（2）在导数的概念建立之后，要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式，要注意形式化训练中的规范要求，从而加深对导数概念的认识和理解，并从中领悟求导数这一
算法的基本思想。这里的常见初等函数指：y?c，y?x，y?x2，y?x3，y?1，y?x。 x（3）教学中，要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值，注意严格控制难度，避免过量的形式化的运算练习。
（4）要引导学生在解决具体问题的过程中，结合实例及函数的图象，借助几何直观，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（5）重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用。要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值。
（6）引导学生阅读有关资料，了解微积分创立的时代背景和有关人物，让学生体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
方法点拨：
1、重视数形结合思想及图象法在解题中的应用； 2、注意“定义域优先”的原则；
3、注重导数的实际意义，掌握求函数单调区间、极值、最值的一般步骤和方法；
4、应用函数与方程思想的同时，还应注意换元、参数、数形结合、分类讨论等思想方法的运用
三、考点分析：
导数作为研究函数性态、证明不等式和解决一些实际问题的选修内容，仍然将成为高考必考内容，而且内容更加丰富，题型仍然以选择题、填空题、解答题形式出现，其中选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，如求函数的导数、切线的斜率、极值、最值、单调区间以及定积分，解答题一般为导数的应用，以及与三角函数、解三角形、不等式、解析几何、函数等知识的综合。
四、易错点、学法指导及例题研究
例1、函数y?f(x)是定义在R上的可导函数，则f/(x0)?0是函数在x?x0时取得极值的（B）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 例2、已知函数y?f(x)?x(x?c)2在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；
略解：?y/?3x2?4cx?c2，则y/|x?2?0 ?12?8c?c2?0 ?c?2或c?6，?x?2时
取得极大值，所以经检验c?6 （如令x?1时,y/?0，则3?4c?c2?0 ?c?3或c?1） 变式引申：
322函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ）
a ??4,b?1或 a??4,b?11A、 、a??4,b?11a?3,b??3或 B
C、 D、 以上都不对
?a?3?a??4?1?a?b?a2?10或?f(1)?10??略解:由题设条件得： ? ? 解之得 b??3b?11
?/?f(1)?0a??4,b?11?3?2a?b?0??通过验证，都合要求，故应选择A，上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 说明：若点(x0,y0)是可导函数f(x)的极值点，则f?(x0)?0；若可导函数f(x)在点(x0,y0)的两侧
的导数异号，则点(x0,y0)是可导函数f(x)的极值点.，函数f(x)在极值点(x0,y0)处不一定可导，如函数
y?x2?2x?3；函数在取得极值处，如果有切线的话，则切线是水平的，从而f/(x)?0，
但反过来不一定，如函数y?x3, 在x?0处f/(x)?0，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。
例3、函数y?f(x)是定义在R上的可导函数，则y?f(x)为R上的单调增函数是f/(x)?0的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件（B） 说明：当f/(x)?0时，函数y?f(x)单调递增，但y?f(x)单调递增，却不一定有f/(x)?0，
例如函数f(x)?x3是R上的可导函数，它是R上的增函数，但当x?0时，f/(0)?0
例4、函数f(x)?x3?3x (|x|?1) （D） A、 有最大值，但无最小值 B、有最大值、最小值 B、 C、无最大值、最小值 D、无最大值，有最小值
略解：f/(x)?3x2?3 ?|x|?1 ?f/(x)?0 ?函数f(x)在(?1,1)上单调递减，所以无最大、最小值。 说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值，如函数f(x)?1 x1?x2例5、求f(x)?ln的单调递增区间
1?x22解：由函数的定义域可知， 1?x?0 即?1?x?1
又
1?x21f(x)?ln?[ln(1?x2)?ln(1?x2)] 21?x212x?2xxx (?)??21?x21?x21?x21?x2所以f?(x)? 令f?(x)?0，得x??1或0?x?1
综上所述，f(x)的单调递增区间为（0，1）
导数单元专题复习教案
