2005年考研数学数学二真题及答案解析

由天下分享时间：2024/10/30 10:57:34 加入收藏我要投稿点赞

2005年考研数学二真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设y?(1?sinx)，则dy|x??=______ . x（2）曲线y?(1?x)x232的斜渐近线方程为______ . （3）

?(2?x01xdx2)1?x?______ . 19（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为______ . 2（5）当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= ______ . （6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，如果A?1，那么B? .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

?y?ln(1?t)11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]

(A)

（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则

22??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??

(A) ab?. (B)

aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22- 1 -

（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?则必有

?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有一阶导数，

?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u?2. [ ] (C) ?2. (D)

?x?y?x?x?y?y（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩阵，则

(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B. (C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）

**********?设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.

（16）（本题满分11分）如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象. 过2C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处

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的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

（18）（本题满分12分）

?(x0232?x)f???(x)dx.

用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足

yx?0?1,y?x?0?2的特解.

（19）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；

（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.

42（21）（本题满分9分）计算二重积分

??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

（22）（本题满分9分）确定常数

TTTa,使向量组?1?(1,1,a),?2?(1,a,1),?3?(a,1,1)可由向量组

?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线

性表示.

（23）（本题满分9分）

?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.

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2005年考研数学二真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设y?(1?sinx)，则dyxx?? = ??dx .

【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】方法一： y?(1?sinx)x=exln(1?sinx)，于是

y??exln(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x?cosx1?sinx]，

从而 dyx??=y?(?)dx???dx.

方法二：两边取对数，lny?xln(1?sinx)，对x求导，得

1yy??ln(1?sinx)?xcosx1?sinx，于是 y??(1?sinx)x?[ln(1?sinx)?x?cosx1?sinx]，故

dyx??=y?(?)dx???dx.

3（2）曲线y?(1?x)2x的斜渐近线方程为y?x?32. 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 32【详解】因为a=f(x)(1?x)xlim???x?xlim???xx?1, 33 b?(1?x)2?x2 xlim????f(x)?ax??xlim???x?32，于是所求斜渐近线方程为y?x?32. （3）

?1xdx0(2?x2)1?x2?

?4 . 【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令x?sint，则

?1xdx?sintcost0(2?x2)1?x2??20(2?sin2t)costdt ?? =??2dcost01?cos2t??arctan(cost)20??4.

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（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为y?1193xlnx?9x.. 【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：

y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]，再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】原方程等价为

y??2xy?lnx，于是通解为 y?e??2xdx[?lnx?e?2xdxdx?C]?1x2?[?x2lnxdx?C] =

113xlnx?9x?C1x2，由y(1)??19得C=0，故所求解为y?13xlnx?19x.

（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k=

34 . 【分析】题设相当于已知lim?(x)(x)?1，由此确定k即可.

x?0?【详解】由题设，lim?(x)1?xarcsinx?cosxx?0?(x)?limx?0kx2 =limxarcsinx?1?cosxx?0kx2(1?xarcsinx?cosx)