解. f(0)=a, ,x≠0 在x=0处连续，则a,x=0 -2sin2
x??limf(x)=lim 1-2sin2?x→0x→02??x-21??2x??=lim? 1-2sin2?-2sin2? x→0??2????x2x=e, 由 -12 f(0)=limf(x), 可得a=e. x→0-12
e2x-15. 函数f(x)=的可去间断点为x0=f(x0)= x(x-1) 函数在x0处连续.
e2x-1解. 当x=0,1时f(x)没有定义, 又limf(x)=lim=∞, ∴x=1为无穷间断点;
x→1x→1xx-1e2x-1而limf(x)=lim=-2, ∴x=0为可去间断点, 补充f(0)=-2, 可为连续点. x→0x→0x(x-1)
d11[f(x3)]=，则f'(x)= dxx3x
d111fx3=f'x3?3x2=，∴f'x3=3，即f'(x)=解 。 dxx3x3x4．已知[()]()() ?1?.5．若f(x)=limx 1+?t→∞t??2+x，则f'(x)=(2x+1)e2x 解 f(x)=xe2x，∴f'(x)=(2x+1)e2x。
lnx设函数F(x)是的一个原函数，则dF(e2)=xx
lnx1x6． 解：依题意,F'(x)=,则dF(e2)=F'(e2)?e2dx=dx. x24 dd?df(x)dx=. ?dx
dd?df(x)dx=f(x). 解：由导数与积分互为逆运算得，?dx7. 8.若xxx?f(x)dx=F(x)+C，则?f(ax2+b)xdx= . 解：当a=0时， 当a≠0时，?f(ax2+b)xdx=?f(b)xdx=1
2a??f(ax2+b)xdx=f(b)2x+C， 21f(ax2+b)d(ax2+b)=F(ax2+b)+C， 2a ?1F(ax2+b)+C, a≠0,??2a2所以，?f(ax+b)xdx=? f(b)2?x, a=0.??2
n9.(sinx+cosx)cos2xdx=?
nn+1解：(sinx+cosx)cos2xdx=(sinx+cosx)(cosx-sinx)dx ?? =?(sinx+cosx)n+1d(sinx+cosx)，
d(sinx+cosx)?sinx+cosx=lnsinx+cosx+C，
1n+1(sinx+cosx)n+2+C 当n≠-2时，原式=?(sinx+cosx)d(sinx+cosx)=n+2当n=-2时，原式=
?lnsinx+cosx+C, n=-2,?n (sinx+cosx)cos2xdx=?1?n+2(sinx+cosx), n≠-2.??n+2 10.x?3a2-x2dx= . 1221222222222xa-xdx=(a-x-a)a-xd(a-x) ??22 353解：原式=112a2
22222222222=?[(a-x)-aa-x]d(a-x)=(a-x)-(a-x2)2+C. 253 11.?x-xx-12dx= . x(x+x2-1) x2-1)(x+x2-1)
2解：原式=?(x-dx=?x(x+x2-1)dx 3x31x31222=?xdx+?xx-1dx=+?x-1d(x-1)=+(x-1)2+C. 32332
12.lnx?(1+x)2dx= . 解：原式=lnxd(-?1lnx1lnx11)=-+?dx=-+?(-)dx 1+x1+x(1+x)x1+xx1+x=-lnxlnxx+lnx-ln+x+C=-+ln+C. 1+x1+x1+x 2x4-x3-x+1dx= . 13.?3x-1
2x4-2x-x3+1+xxdx=(2x-1+)dx 解：原式=??x3-1x3-1
11x-11112x+1-32(-)dx=x-x+lnx--?dx 3?x-1x2+x+1332?x2+x+1 112x+111=x2-x+lnx-1-?2dx+?dx 12336x+x+12(x+)+24=x2-x+ 112x+1=x2-x+lnx-1-ln(x2+x+1)++C. 363x(1+x2)dx= . 14.?41+x
1dx21dx41124解：原式=?+=arctanx+ln(1+x)+C. 224?21+(x)41+x24
15.?x
1-xxdx= . 解：令x=t，则有 原式=
16.设f(x)是连续函数，且?2t2-t3dt=-214433d(1-t)=--t+C=--xx+C. ?33-t33 x3-1? 0f(t)dt=x，则f(7)= .
1 3x2=
x=23解：两边对x求导得3x2f(x3-1)=1，令x-1=7，得x=2，所以f(7)=1. 12 17.设f(x)=x+e 解：令a=
12-x? 1 0f(x)dx,则f(x)= . ? 1 0f(x)dx，则f(x)=x2+ae-x， 1x312-x-ae-x)=-a(e-1-1)， 从而a=?(x+ae)dx=( 0330 解得a=e11-x2，于是f(x)=x+e. 33
18.?π - πxecosx+x2sin3x+1dx= . 1+|x|
xecosxx2sin3x1解：在[-π,π]上,与都是奇函数,而是偶函数,由奇偶函数在对称1+x1+x1+x
区间上的定积分性质有,原式=2? π
01πdx=2ln(1+x)0=2ln(1+π). 1+x
19.曲线y=? 2 xcost2dt在点(2,0)处的法线方程为解：因为dydy=cosx2，则dxdxx=2=cosπ4=2， 2
所对应的法线方程为y-0=-(x-2)，即2x+y=2.
[0,π]上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为20.在区间 . 解：A= ? π 0cosx-sinxdx=?4(cosx-sinx)dx+?π(sinx-cosx)dx 0 4 π π17 π 4
=(sinx+cosx)0+(-cosx-sinx)π=2-1+1+=22.
4 π
xx
)=cosx+1，则f(cos)=22xx2x,令u=sin,则f(u)=2-2u2, 解：因为f(sin)=2-2sin222xx 所以f(cos)=2-2cos2=1-cosx.
22
21.设f(sin
22.设f(x)=(1+cosx)x+1sin(x2-3x)，则f'(0)= . 解：因为f(0)=0，sin(x2-3x)~x2-3x(x→0)，则
f(x)-f(0)(1+cosx)x+1sin(x2-3x)x2-3x f'(0)=lim=lim=2lim=-6. x→0x→0x→0x-0xx
23.已知f(x)=x(x-a)3在x=1处取极值，则a=322
解：因为f'(x)=(x-a)+3x(x-a)=(x-a)(4x-a). 令f'(x)=0,得x=a及x= a.4
显然, f'(x)在x=a(a≠0)两侧了附近不变号,在x= a
两侧附近变号, 4
aa
故f(x)在x=a处不取极值,在x=处取极值,依题意,=1,故a=4. 44 ?0
0 24. 设A= 3 ?2003110002??1? ，则A–1，(A*)–1。 0??0? ?0?12??33?–1
解：设A1= ?，A2= ?，则A= -1 0121?A1???? 1?? 00-1 ? 3 ?2A2-1? -1?，由?=00 3?0? 0? 1-20 ?
00??013
1000010
03312==–3，故?
221011 001
A，而|A|=AA*=|A|E知，(A*)–1= 3|A|
200311000231r1?r32====0r2?r4000 ? 0 1
(A*)–1=-A= 0 3
-12 -?3 00-11-3 - 12? -?33? 10-?。 3?00? ?00?? ?17-1?
20-1 ???
423 25. 已知A= ，B=，则AB= ，B'A'= 。 ? ? ?132? ?
?201??017? ??014-3? 解：AB= ?，B'A'= 1413?。 ?171310? ? ?-310? ?λ10? ? 26. 0λ1? ??00λ??λ 解：设A= 0
?0 1 n λ
0??λ? 1?，则A2= 0? λ??0
1 λ
01 0?
?1??λ??λ 0 ?0 1 λ
0??λ2? 1?= 0?λ? ?0 2λ
λ2 1?
?2λ?， λ2?? ?λ2 32
A=AA= 0 0??λ4 A4=A3A= 0 0? 2λ
λ2 04λ3
1??2λ?λ2?? ?λ 0 ?0 λ
0??λ3? 1?= 0?λ? ?0 3λ2 λ3
3λ? ?2
3λ?， λ3?? λ4 6λ2? ?
4λ3?，?? λ4??
高等数学复习题及答案.
