34.设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b和y=0所围成的平面图形的面积等于( ) (A)?f(x)dx ab (B)?baf(x)dx
(C)-?f(x)dx ab
?x→0 (D)?f(x)x ab 35. 若f ( x )在点x处可导，则limf(x+?x)-f(x-?x)=（ ） ?x (A)f'(x) (B) 2f'(x) C. 0 (D) 1 f'(x)236.下列算式正确的是（ ） 11 (A)
(C)1-1?exdx=0 (B) (D)1
-1x-14x?sinxdx=0 ex+e-x=0?2-1=0 2?xcosxdx 37.下列变量中，（ ）是无穷小量。 (A) ln( x –1 ) ( x→1) (B) sinx+cosx (x→0) x2-1(C) e (x→ -∞) (D) (x→1) x-1x
38．下列变量中，是无穷小量的为（ ）
1+ A. ln(x→0) B. lnx(x→1) x C. e-1
x(x→0) D. x-2(x→2) x2-4
39.下列极限计算正确的是（ ）。 11=limxlimsin=0 x→0xx→0x→0x tan2x
tan2x=lim=1 B. limx→0sin2xx→0sin2x 2xA.limxsin
C. lim(x+x-x)=limx+x-limx=0 x→∞x→∞x→∞22
D. lim(x→∞1+xx-11+xx1+x-1e)=lim()lim()=-1e-1=e x→∞1-xx→∞1-x1-xe x≥0
x<0在x=0处连续。 ?x+1 40.当k=（ ）时，f(x)=?2?x+k A.0
41.设f(x)=B. －1 C.2 D. 1 ）。 x+1，则f'(0)=（ x+1 A．不存在 B. 1 C. 0 D.-1 42.设f(x)=lnx，则limf(x)
x→1x-1=（ ）。
1
A．1 B. e-2 C. 0 D. 不存在
43.设f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则limf(x) x→0x=( )。
A.不存在 B. f'(0) C.0 D. 任意 44. (lncosx)'=（ ）。
A.-tanx B. tanx C.-cotx D. cotx
45.若f(x)可导且f(x)>0，则下列不等式不正确的是( )。 A. (lnf(x))'=1
f(x) B. (lnf(x))'=f'(x) f(x) C. (f(lnx))'=f'(lnx) x D. (1f'( f(x))'=-x) f2(x)
46.在某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（
A. F'(x)+c=f(x) B. F(x)dx+c=f(x)dx C. (F(x)+c)'=f(x) D. F'(x)=f(x)+c
47.如果?f(x)dx=sin2x+c，则f（x）=（ ） A. 2sin2x B. －2cos2x C. －2sin2x D. 2cos2x 48.已知?1
0x(a-x)dx=1，那么常数a=（ ）。 A.8B.64 33C.3D.2 3 49.?ln2x xx=（ ）。 A．ln2(2x) B. 1 2ln2(2x)+c
C. 2ln2(2x)+c D. 1
4ln2(2x)+c
50.设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则?xf(-x2)dx＝（ ）。 A．F(-x2)+c B. -F(-x2)+c 9 ）
C. -1F(-x2)+c 2D. 1F(-x2)+c 2 三．计算下列函数极限
1. 已知lim(x→∞x+ax)=9，求常数a x-a
arctanx2(1-cosx)2．lim 2x→0ln(1+x)sinx 3．lim(1-x)tanx→1πx2 4．lim(x→113-) 1-x1-x3 5．limx→0x-sinx。 x3
6．设平面曲线的方程为x2-2xy+3y2=3，求曲线在点(2，1)处的切线方程。 7．设函数z=y2x，求dz。 8
．计算?x。 04
四．已知f(x)=sinx，f(?(x))=1-x2，求?(x)的定义域 五．求lim(n→∞12n++ +) n2+n+1n2+n+2n2+n+n
x3+ax2+b=8，试确定a和b的值 六．已知limx→2x-2
e+1 e-11
x1x七．求limx→01 x
1，a3=2+2八．已知数列a1=2，a2=2+1
12+2，??，极限存在，求此极限 ?x1?-1九．设f(x)=?e, x>0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型 ??ln(1+x),-1 x+x2enx 十．讨论f(x)=lim的连续性。 n→∞1+enx 十一．（10分）设f(x)=esin(2x-3)π，求limx→1f(2-x)-f(1) x-1 十二．设f(x)在(-∞,+∞)内有意义，且f(0)=0，f'(0)=1 又f(x1+x2)=f(x1)?(x2)+f(x2)?(x1)，其中?(x)=cosx+x2e-2x, 求f'(x) 2?d2y?x=3t+2t+3十三．设y=y(x)由方程组?y所确立，求2|t=0 dx??esint-y+1=0 ?a+x2x<0?十四．设f(x)=?1 x=0，已知f(x)在x=0处连续可导，试确立a,b并求 ?ln(b+x2)x>0? f'(x) 十五．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1,-1)处相切，求常数a,b. 十六、证明题 （a,b），1. 设f(x),g(x)在[a , b ]上可微，g'(x)≠0,证明?ξ∈使 f(a)-f(ξ)f'(ξ)=. g(ξ)-g(b)g'(ξ) 2. 设函数f(x)在[0,1]上可导，且0 十七、设函数 y = y(x)由方程2y-2y+2xy-x=1所确定，试求y = y(x)的驻点，并判别它是否为极值点. 十八、证明：当x>0时, sinx+cosx>1+x-x. 十九、计算： 1.23221?cosx(5+3cosx)dx； ex(x2-2x-1)2.?dx； 22(x-1) 3.?(1+x2)arcsinx x2-x2dx； x2-1dx； 4.?4x+1 5.sinx?asinx+bcosxdx. ?x2, x≥0,二十、已知f'(x)=? 求f(x). ?sinx, x<0, 二十一、已知f'(ex)=1+x，且f(1)=1，求f(x). 二十二、解答下列各题（每小题6分，共30分）： 2sinx1.计算?4πdx； -x -1+e4 π 2.设x≥-1,求? x -1(1-|t|)dt； 1,x=e和x轴所围图形的面积. e3.求曲线y=|lnx|,直线x= 二十五、已知f(x)连续，F(x)=?tf(x-2t)dt,求F''(0). 0 x 二十六、设f(x)在[0,π]上连续，且? π 0f(x)dx=0,?f(x)cosxdx=0，试证：在(0,π)内 0 π 至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0. 二十八、设函数f(x)有连续导数，且f'(1)=3，求极限lim+x→0?d?. f(cosx)???dx? ?x=ln(1+t2)?二十九、求曲线?的与直线x+2y=0平行的切线方程. πy=-arctant??2 [0,a]上至少存在一点ξ，使三十、设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a), 证明 f(ξ)=f(ξ+a). 3?1?x=at三十一、设曲线? 时切线斜率为，问a,b为何值时，曲线(a>0,b>0)在t=123??y=t-bt 与x轴所围部分面积最大？ ?016-7-55? ?1-521-1? 三十二、 求A的秩R(A)，A= -1-1154-4? ?6-3-37??2 ?100? ? 三十三、 设A= 220?，求(A*)–1。 ??345? 三十四、求解下列各题： ?1-12? ? 1. 设A= 213?，当k取何值时，R(A)=3，当k取何值时，R(A)<3。 ??4k1? ?101? ? 2. 设AX+E=A2+X，且A= 020?，求X。 ??101? 三十五、求解下列概率题： 1．一列国际列车上有12名中国人，求这12名中国人属相都不同的概率？ 2．3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共码破译的概率 是多少？ 3．已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的 概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产 品确实是正品的概率. 4．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品 分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的 零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率. 5．设P(A)=1115,3411,P(B)=. 32 （1）若AB=Φ，求PBA； （2） 若A?B，求PBA； （3）若P(AB)=（3）P(AB)=()()1，求PBA. 8()1113 ∴P(B)=P(B)–P(AB)=–= 8288 sin(x-1) 2x→1x-1 1 x三十六、求下列极限： （1）limx→09+sin3x-3； xx（2）lim1)； （3）lim(xe+x→0x-1 （4）lim(1-2x)。 x→0 三十七、求下列导数或微分： （1） 设y=(x- x2+sinx x22x)e，求y'； x（2）设y=e,求y' xy2（3）设函数y=y(x)由方程e （4）设y=+x=1确定，求y'。 x+1,求dy。 2x-1 高等数学复习题答案 一、填空题 1．已知x→0时，(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a 1 23 (1+ax)解. limx→0-1=limx→0cosx-1 -21232ax221?2323-x?(1+ax+(1+ax)?223=-a=1,∴a=-. 32?+1????(cosx)x 4. 已知f(x)=??a?
高等数学复习题及答案.
