怀疑并不是缺点。总是疑，而并不下断语，这才是缺点。 —— 鲁迅
第九讲
操作与计数技巧
教学目标 操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类
数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
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常见操作类问题 计数技巧与操作
经典精讲 常见操作类问题
【例1】 （2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如
右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸： ⑴剪成2块吗？ ⑵剪成3块吗？ ⑶剪成4块吗？ ⑷剪成5块吗？
如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：
⑵剪开成3块，如下图：
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怀疑并不是缺点。总是疑，而并不下断语，这才是缺点。 —— 鲁迅
⑶剪开成4块，如下图：
⑷剪开成5块，如下图：
【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，
然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．
【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。
【例2】 A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，
从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？
【分析】盒子 A B C D
初始状态 6 4 5 3
第1人放过后 5 3 4 6 第2人放过后 4 6 3 5 第3人放过后 3 5 6 4 第4人放过后 6 4 5 3
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怀疑并不是缺点。总是疑，而并不下断语，这才是缺点。 —— 鲁迅
第5人放过后 5 3 4 6
由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34?4?82，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。
【例3】 （2006年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同
色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有______个。
【分析】首先圆圈上是不可能有5个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那
么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有4个。实际操作得到：
【拓展】经过2008次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？
【分析】如图进行操作，当第7此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第2008次操作时圆圈上的棋子颜色与第4次操作后的圆圈情况相同。
【例4】 50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，
跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_______。
【分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯
一，例如编号为2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的
编号为
n?n?1?236?1?2?3?4?5?6?7?8，所以报2008的同学第一次报8。
,报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道
【例5】 （2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99。
一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，学而思教育 五升六 竞赛123班 第九讲 教师版 Page 86
【实用资料】奥数第9讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc
