3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量 (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° C．30°
B．60° D．以上均错
1
【解析】 设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝.
2又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°. 【答案】 C
π
2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l3与直线a所成角的取值范围是( )
?2π?A.?0，?
3??
C.?
?π2π?B．?，?
3??2?ππ?D．?，? ?32?
?π，2π?
?3??3
π
【解析】 由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，
3π
则所成角的最大值为.
2
【答案】 D
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
【导学号：15460079】
A．30° C．60° 【解析】
B．45° D．90°
如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于
1
→
是AD＝(0,1,0)．
取PD中点为E，
?11?则E?0，，?， ?22?
→?11?∴AE＝?0，，?，
?22?
2→→→→
易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos
2∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 【答案】 B
4．如图3-2-31，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
图3-2-31
A．－3 3
B．－3 2
C.
3 3
D．3 2
【解析】 设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所→→
以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E＝(－1,1,0)，A1B＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面→??A1E·m＝0，
A1BE的法向量，则?
→??A1B·m＝0，
??－x＋y＝0，
所以?
??2y－2z＝0，
??y＝x，
所以?
??y＝z，
取x＝1，则y＝z→
＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以DA＝(1,0,0)是平→m·DA13→
面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA〉＝＝＝，又二面角B1-A1B-E为锐二
→33|m||DA|面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为
【答案】 C
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
2
3
，故选C. 3
A.
6 26 4
B．
6 3
C.D．2
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
?1?则A1(1,0,1)，E?1，，0?， ?2???F?0，，1?，B1(1,1,1)．
2?
?
A1B1＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
→
1
??n·A1E＝0，则?
→?n·A?1F＝0，
→
1
??2y－z＝0，即?y－x＋??2＝0.
令y＝2，则?
?x＝1，???z＝1，
26→
∴n＝(1,2,1)，cos〈n，A1B1〉＝＝，
63即线面角的正弦值为【答案】 B 二、填空题
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．
6. 3
【解析】 作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝2.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝
COCM1
2＝， 22
3
所以∠CMO＝45°. 【答案】 45°
→
7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
→
【解析】 设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3, 6)，所以cos〈n，→
AB〉＝
7. 4
3t→→＝，因为〈n，AB〉∈[0，π]，所以sin〈n，AB〉＝→4|t||n|·|AB|
n·AB→
1－?
?3t?2＝
??4|t|?
【答案】
7 4
8．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，
y，z)．
1??2??所以A(1,0,0)，E?1，1，?，F?0，1，?， 3??3??1?→?1?→?
所以AE＝?0，1，?，EF＝?－1，0，?，
3?3???→??n2·AE＝0，→??n2·EF＝0，
则?
1
y＋z＝0，??3即?1
－x＋??3z＝0.
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)． 所以cos〈n1，n2〉＝
n1·n2311
＝. |n1||n2|11
31122
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，
1111
4
所以tan α＝
【答案】
2. 32 3
三、解答题
9.如图3-2-32所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.
图3-2-32
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC， 由题意知BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD.
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3， 又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC. ∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0, 3，0)，A(0,0,1)，
E??1，3?22，0???
， ∴→BA＝(－1,0,1)，→
CD＝(－1，－3，0)， ∴cos〈→BA，→
→CD〉＝BA·→CD2|→＝. BA|·|→CD|4∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为
24
. 10．四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
5
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平
