绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
C．D．
文科数学
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12小题，每小题
5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。1．设z3i12i
，则
z=
A．2 B．
3
C．
2
D．1
2．已知集合
U1,2,3,4,5,6,7，A
2,3,4,5，B
2,3,6,7，则BeUA
A．
1,6
B．
1,7
C．
6,7
D．
1,6,7
3．已知alog20.2
,c
0.3
20.2,b
0.2
，则A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51512
（
2
≈0.618，称
为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长
度之比也是
51．若某人满足上述两个黄金分割比例，
且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，
2
则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
5．函数f(x)=
sinxxcosx
x
2
在[—π，π
]的图像大致为A．
B．
法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面
4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
7．tan255°=
A．－2－
3
B．－2+
3
C．2－
3
D．2+
3
8．已知非零向量
a，b满足
a=2b，且（a–b）
b，则a与b的夹角为A．
πB．
π2ππ6
3
C．
3
D．
56
19．如图是求2
1的程序框图，图中空白框中应填入
2
12
A．A=
12
AB．A=2
1A
C．A=
112A
D．A=1
12A
10．双曲线C：
x2y2a
2
b
2
1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为
130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50
D．
1cos50
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
14
，则
A．6
B．5
C．4
D．3
bc
=
1
B两点.若|AF2|12．已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，
则C的方程为
2|F2B|，|AB||BF1|，
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，
2
2
A．
x
y
2
y
2
2
y
2
1
B．
x
2
y
2
32
1
C．
x
2
43
1
D．
x
54
1
二、填空题：本题共4小题，每小题
5分，共20分。
13．曲线y
3(x
2
x)ex
在点(0,0)处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a11，S33
4
，则S4=___________．
15．函数f(x)
sin(2x
3π
2
)3cosx的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为
3，那么P到
平面ABC的距离为___________．三、解答题：共
70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和
50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不
满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意男顾客40 10 女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K
2
n(ad
bc)
2
(ab)(c
d)(ac)(b
d)
．
P（K2
≥
k）0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π］时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点
O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点
P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共
10分。请考生在第
22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程
]（10分）
2x
1t2
，
在直角坐标系
xOy中，曲线C的参数方程为
1t
4t（t为参数），以坐标原点
O为极点，y
1t
2
轴为极轴建立极坐标系，直线
l的极坐标方程为
2cos3sin110．
2
x轴的正半
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
1112
a
bca
b
2
c2
；（2）(a
b)
3
(b
c)
3
(c
a)
3
24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B
9．A
10．D
11．A
12．B
二、填空题13．y=3x14．58
15．-4
16．
2
三、解答题17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050
0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率
的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
3050
0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为
0.6．
100(40203010)
2
（2）K
2
50507030
4.762．
由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异
.
18．解：
（1）设an的公差为d．
由S9
a5得a1
4d0．
由a3=4得a1
2d
4．
19．解：
20．解：
3
于是a18,d2．
因此
an的通项公式为an
10
2n．
（2）由（1）得a14d，故a(n5)d,Sn(n
9)d
n
n
2
.
由a2
1
0知d
0，故Sn…an等价于n
11n10,0，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是{n|1剟n10,nN}．
（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME∥B1C，且ME12
B1C.又因为N为A1D
的中点，所以ND
12
A1D.
由题设知A1B1∥=DC，可得BC1∥=A1D，故ME∥=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.
又
MN
平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得
DEBC，DE
C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以
C1E
17，故CH
41717
.
从而点C到平面C4171DE的距离为
17
.
（1）设g(x)
f(x)，则g(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.
当x
π
(0,)时，g(x)0；当x
π
,π时，g(x)π
0，所以g(x)在(0,)单调递增，在
π
,π单调22．解：（1）因为
1
1t22
1，且x
2
y2
1t
2
2
2
4t
22
1，所以C的直角坐标方程为
2
222
递减.
又g(0)
0,g
π2
0,g(π)
2，故g(x)在(0,π
)存在唯一零点. 所以f(x)在(0,π
)存在唯一零点. （2）由题设知
f(π)…aπ,f(π)0，可得a≤0.
由（1）知，f(x)在(0,π)只有一个零点，设为
x0，且当x
0,x0时，f(x)
0；当x
x0,π时，
f(x)
0，所以f(x)在0,x0单调递增，在x0,π单调递减.
又f(0)
0,f(π)
0，所以，当x
[0,π]时，f(x)…0.
又当a,0,x[0,π]时，ax≤０，故f(x)…ax.
因此，a的取值范围是(,0].
21．解：（1）因为
M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关
于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a, a).
因为
M与直线x+2=0相切，所以
M的半径为r|a
2|.
由已知得|AO|=2，又MO
AO，故可得2a2
4
(a
2)2
，解得a=0或a=4.
故
M的半径r=2或r=6.
（2）存在定点P(1,0)，使得|MA||MP|为定值.
理由如下：
设M(x, y)，由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于
MOAO，故可得x
2
y
2
4(x2)2，化简得M的轨迹方程为y
2
4x.
因为曲线C:y2
4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以
|MP|=x+1.
因为|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点
P.
23．解：4
1t
2
1t
1t
2
x
2
y
2
4
1(x1).
l的直角坐标方程为2x
3y110.
（2）由（1）可设C的参数方程为
xcos,y
2sin
（为参数，
ππ）.
πC上的点到
l的距离为
|2cos23sin11|
4cos
3
11
77
.
当
2ππ3
时，4cos
3
11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为
（1）因为a
2
b
2
2ab,b2
c2
2bc,c2
a2
2ac，又abc1，故有a
2
b2
c2
abbc
caabbcca
111abc
a
b
c
.
所以
1112
a
b
c
a
b
2
c2
.
（2）因为a, b, c为正数且
abc1，故有
(ab)
3
(bc)
3
(ca)3
33
(a
b)3
(b
c)3
(a
c)
3
=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)
(2bc)(2ac)
=24.
所以(a
b)
3
(bc)
3
(ca)
3
24.
7.
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学及答案解析
