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因式分解
一、导入：
有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 2、知识点回顾：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数； (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
三、专题讲解
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式
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(a+b)3=a3+2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
※※变式练习
1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解． 解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
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原式=x-9x-1+9 =(x-1)-9x+9
=(x-1)(x+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x-x-8x+8 =(x-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
解法3 将三次项x拆成9x-8x． 原式=9x-8x-9x+8 =(9x-9x)+(-8x+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1) =(x-1)(x+x-8)． 解法4 添加两项-x+x． 原式=x-9x+8 =x-x+x-9x+8 =x(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． ※※变式练习 1分解因式： (1)x+x+x-3； (2)(m-1)(n-1)+4mn； (3)(x+1)+(x-1)+(x-1)； (4)ab-ab+a+b+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x+x+x-1-1-1 =(x-1)+(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1) =(x-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn．
2
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6
3
3
3
3
9
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【精品】因式分解竞赛题含答案
