第十三讲、函数极限的性质
定理 13.1.（唯一性）若极限
lim x→x f (x) 存在，则极限值唯一.
0
证明：我们使用反证法加以证明。假设
lim
A < B 。 取ε = (B ? A) / 2 ，则存在δ3A B A B A ε f x A ε ? = ? <
( )
2
2
( ) lim ( )
x→x f x = A及 x→x f x = B ，
0
0
1
> 0 ，使得当0 <| x ? x0 |< δ1 时
< + = +
2
（13.1）
0
，使得当0 <| x ? x0 |< δ2 时
存在δ
>
A B
B ε + = ? < 2
现取正数
f x
3B A B ε
? 2
< + = ( )
（13.2）
δ = δ δ ，则当0 <| x ? x0 |< δ 时，由（13.1）与（13.2）可得 min{ , }
1
2
A B < < 2
+
f (x) f (x) 矛盾！证毕。
定理 13.2 .（函数极限的局部有界性）
若极限 lim x→x f (x) 存在，则存在δ > 0 ，使得 f (x) 在邻域 ( 0; )
U o x δ 内有界.
0
定理 13.3. 若 lim
xxxx
0
( ) lim ( ) → g x = B 且 A < B ，则→ f x = A， 存在δ > 0 使当
→ f x = → g x = B 且 A < B ，则存在δ > 0 A， 使当
xx
xx
0
x∈U x δ 时, 有 f (x) < g(x) .
o
( ; )
0
在上面的定理 13.3 中，取 g(x) ≡ 0 ，则有
x→x f x = A
且 A > 0 , ( A < 0 )
推论 13.1 .( 局部保号性). 若lim
0
( )
x∈U o x δ 时, 有 f (x) > 0 （ f (x) < 0）.
( 0; )
则存在δ > 0 使当
x∈U o x δ 时, 有 f (x) ≤ g(x)
且 推论 13.2 .( 保不等式) 若存在δ > 0 使当 ( 0; )
lim ( ) lim ( ) → g x = → f x = A， B ，则 A ≤ B 。
→ f x = → g x = B ，则 A ≤ A， B 。
xxxx
0
xx
xx
0
x∈U x δ 时, 有 f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)且
o
定理 13.4.（迫敛性）若存在δ > 0 使当 ( 0; )
( ) x→x f x = x→x g x = A 则 lim
且lim ( ) lim ( ) → h x = A。
→ h x = A。
0
0
xxxx
0
注记 13.1. （I）和数列极限性质类似，在推论 13.2 中，把条件
“ f (x) ≤ g(x) ”换成更强的条件“ f (x) < g(x) ”时，我们得到的结论仍然是
A ≤ B ，并不能得到更强的 A < B 。
（II）以上定理及推论都可以推广到左右极限 x → x0 ? ， x → x + 及自变量
0
趋于
∞, + ∞, ? ∞的情形，请读者根据极限的定义自行给出。例如对于上 面的定理
13.4，我们有：
定理：若存在实数 M 使当 x∈(?∞,M )时, 有 f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)且
x→?∞ f x = x→?∞ g x = A 则lim x→?∞ h(x) = A。 且lim ( ) lim ( )
( ) 定理 13.5.（归结原则）设f(x →)在U ( ;λ)中有定义。 lim
f x = A的充 则
x → f x = A
的充
o
0
xx
xx
0
分必要条件是：对于任何在U ( ;λ)中收敛于 x0 的数列{xn}都有
o
0
x
n→+∞ f xn = A.
lim
( )
x→x f x = A。则对任意ε > 0 ，存在正数
证明：（必要性）假设lim
0
( )
0
，使得
< δ < λ
| f (x) ? A|< ε 对所有x ∈ o( ; )成立
U x
（13.3）
0
δ
现对任意取自于 ( ;λ)
U 中收敛于 x0 的数列{xn}，取正整数 N 使得当n > N
0
o
x
时，|
n
? x
0
|< δ 。则由（13.3）我们有：当n > N 时
x
| ( ) |
f x ? A < ε
n
于是得到lim n→+∞ f (xn ) = A。
(充分性)我们用反证法证明。假设
x→x f x = A
不真。则存在
， lim
0
( )
0 ε >
0
使得对任意正数
0 < δ < λ
，均存在 xδ ∈Uo x δ 满
足
( ; )
0
| f (xδ ) ? A|≥ ε
0
1
的
现在对每个满足 n < λ
δ n
= 1
，这样对应得到
正整数n ，分别取
x ∈U x n 满足 f x ? A ≥ ε
o
( ;1/ ) | ( ) |
n
0
n
0
（13.4）
于是，由（13.4）我们在
( ; ) x ，它收敛于 x 的，但
0
U o 0 λ 中得到数列{ } x
n
n→+∞ f xn = A不真，矛盾！证毕。
lim ( )
注记 13.2. （I）上面定理 13.5 的结论可以推广到左右极限 x → x0 ? ，
x → x + 及自变量趋于∞, + ∞, ? ∞的情形，请读者根据定理 13.5 的证明
0
方法自行给出相应的证明。例如我们有：
定理 A：lim x→∞ f (x) = A的充分必要条件是：对于任何满足 x → ∞ 的数
列 n→+∞ f xn = A。
n
{x }都有lim ( )
n
定理 B：lim
0
( )
+
( ; )中收敛于
0
x 的数列{x }都有lim
0
n
( )
n→+∞ f xn = A.
（II）上述定理给出了函数极限与数列极限之间的内在关系，在函数极限
（连续型）与数列极限（离散型）之间架起了一座桥梁。例如，很容易得到 下面的定理
定理 13.6. 设函数 f (x)在(a,b)上单调增加（减少）有上界（下界），则 limx→b? f (x) 极限存在。
1 sin
lim
例子 13.1. 证明 x→0 x 不存在.
证明：这个例子我们在例子 12.5 中已经证明，下面我们使用定理 13.5（归结 原则）来重新加以证明。我们在0 的去心邻域内取两列趋于0 的数列
函数极限的性质
