第二章 控制系统的数学模型及传递函数 【教学目的】
※掌握拉氏变换及其性质 ※掌握系统微分方程式的建立 ※熟悉传递函数的概念及其求法 ※熟悉框图简化法及梅逊公式 【教学重点】
※拉氏变换的定义
※用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换 ※拉氏变换的定理及其应用 ※建立简单系统的微分方程 ※传递函数的概念
※结构图的联接方式及传递函数 ※结构图简化及简单系统的传递函数求法 【教学难点】
※建立在复数域描述一个函数的概念。 ※时域位移定理的应用。 ※建立微分方程
※结构图简化法则的灵活运用， 梅逊公式的应用 【教学方法及手段】
采用板书讲授的方式进行授课，在课程中注意定理的应用，在理论之后加以例题辅助理解，上课时应注意对学生注意力的吸引。 【学时分配】 8课时 【教学内容】
2-1 拉普拉斯变换的数学方法
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义
1、拉氏变换：设有时间函数F?t?，其中t?0，则f(t)的拉氏变换记作：
L[f(t)]?F(s)??f(t)e?stdt
0?称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数
拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当t??时，f(t)?Meat，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
1??jwstf(t)?L[F(s)]?F(s)eds ???jw2?j?1L?1—拉氏反变换符号
关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换
在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数
t?0?0
1?t????1 t?0?????st1?stL?1?t????1?t?.edt??edt??e?sts?0?02．单位脉冲函数
?01? s
?0??t??????0t?0t?0
L[?(t)]???(t)e?stdt?1
3．单位斜坡函数
?0f?t????tL?t????t?0t?0?st
?001tedt???te?st?s????01edt??2??s?st
4．指数函数eat
L[eat]??eate?stdt??e?(s?a)t?00??1 s?a5．正弦函数sinwt
由欧拉公式：ejwt?coswt?jsinwt e?jwt?coswt?jsinwt 所以，sinwt?L[sinwt]???1jwt(e?e?jwt) 2j01jwt(e?e?jwt)e?stdt2j1??(s?jw)t??(e?e?(s?jw)t)dt2j0111w?(?)?22js?jws?jws?w2
6．余弦函数coswt
coswt?1jwt(e?e?jwt) 2sL[coswt]?2
s?w2
其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
F(t) 1 1(t) t F(s)
?(t) 1s 1s2 1s?a 1(s?a)2
e?at te?at sin?t ?s2??2 ss2??2 n! sn?1n!(s?a)n?1 cos?t tn(n?1,2,3???) tne?at(n?1,2,3???) 1(e?at?e?bt)(b?a) 1(s?a)(s?b) e?atsin?t ?(s?a)2??2 e?atcos?t s?a(s?a)2??2 1s2(s?a) 1(at?1?e?at)2a ?n1??2
e???ntsin(?n1??2t) ?n2s2?2??ns??n 2
三、拉氏变换的性质 1、线性性质
若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：L[k1f1(t)?k2f2(t)]?k1F1(s)?k2F2(s)，此式可由定义证明。
?实数域的位移定理2、位移定理?
?复数域的位移定理(1)实数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a
有L[f(t?a)]?e?asF(s), 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：L[f(t?a)]??f(t?a)e?stdt，
0? 令t-a=τ,则有上式=?f(?)e?s(a??)d??e?asF(s)
0?例：f(t)11?1(t?T), 求其拉氏变换 TT111F(s)??e??s?(1?e?Ts)
TsTsTs?(2)复数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有
L[e?atf(t)]?F(s?a)
证：L[e?atf(t)]??e?atf(t)e?stdt??f(t)e?(a?s)tdt?F(s?a)
00??例：求e?atcoswt的拉氏变换
L[e?atcoswt]?s?a
(s?a)2?w23、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s), 则L[df(t)]?L[f'(t)]?sF(s)?f(0?) dt其中f(0+)由正向使t?0的f(t)值。
控制系统拉氏变换.
