F'(x)?f(x)-
b
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
P(A|B)?P(AB)P(B)
概率的乘法公式
P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A)P(B|A)
全概率公式：从原因计算结果
n P(A)??P(Bk)P(A|Bk) k?1
Bayes公式：从结果找原因
P(B P(Bi)P(A|Bi)k|A)? ?nP(B k)P(A|Bk)k?1
第二章
二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)
P(X?k)?Ckpk(1?p)n?kn，(k?0,1,...,n)
泊松分布——X~P(λ)
P(X?k)??kk!e??，(k?0,1,...)
概率密度函数
???
??f(x)dx?1
怎样计算概率 P(a?X?b)
P(a?X?b)??af(x)dx
均匀分布X~U(a,b)
f(x)?1b?a(a?x?b)
指数分布X~Exp (θ)
f(x)?1?x/??e(x?0)
分布函数
F(x)?P(X?x)??P(X?k)对离散型随机变量 k?x
对连续型随机变量 F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt
分布函数与密度函数的重要关
0?F(x,y)?1系：
F(x,y)?P{X?x,Y?Fy} (x)?P(X?x)??x??f(t)dt
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 f(x,y)联合分布函数
F(x,y)
f(x,y)?0
??????????f(x,y)dxdy?1
联合密度与边缘密度 f?? X(x)????f(x,y)dy f?? Y(y)????f(x,y)dx
页脚内容
-
离散型随机变量的独立性
定义式
P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j}连续型随机变量的独立性
D(X)??
常用计算式 常用公式
?????x?E(X)?2?f(x)dx
2D(X)?E(X2)??E(X)?f(x,y)?fX(x)fY(y)
第三章
数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
E(a)=a，其中a为常数
E(X)?k????xk?Pk??D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E{(X?E(X))(Y?E(Y))}
当X、Y相互独立时：
E(X)??x?f(x)dx????D(X?Y)?D(X)?D(Y)
方差的性质
D(a)=0，其中a为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数 当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望 常用公式
E(g(X))??g(xk)pkkE??X?E(X)??Y?E(Y)???E(XY)?E(X)E(Y)
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)
E(X)???xipijijE(X)???xf(x,y)dxdy
?XYCov(X,Y)?D(X)D(Y)
协方差的性质
Cov(X,X)?E(X)??E(X)??D(X)22E(XY)???xiyjpijijCov(aX,bY)?abCov(X,Y)
Cov(X?Y,Z)?Cov(X,Z)?Cov(Y,Z)独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立
页脚内容
E(X?Y)?E(X)?E(Y)E(XY)???xyf(x,y)dxdy当X与Y独立时,E(XY)?E(X)E(Y)方差
-
第四章 正态分布
X~N(?,?)
2t分布
若X~N(0,1),Y~?2(n),则
X~t(n) Y/nf(x)?1e2???(x??)22?2若U~?2(n1),V~?2(n2),则
F分布
正态总体条件下 样本均值的分布：
U/n1~F(n1,n2)V/n2E(X)??,D(X)??2标准正态分布的概率计算
?(a)?1??(?a)标准正态分布的概率计算公式
P(Z?a)?P(Z?a)??(a)
P(Z?a)?P(Z?a)?1??(a)
X~N(?,?2n)X??~N(0,1)?/n
P(a?Z?b)??(b)??(a)
P(?a?Z?a)??(a)??(?a)?2?(a)?1
一般正态分布的概率计算
样本方差的分布：
(n?1)S2?2~?(n?1)2 X??~t(n?1) s/n
两个正态总体的方差之比
X~N(?,?)?Z?2X???~N(0,1)S/S~F(n1?1,n2?1)?/?
第六章
21212222
一般正态分布的概
P(X?a)?P(X?a)??(a???)率计算公式
点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计
n
a??
P(X?a)?P(X?a)?1??() ?
b??a??P(a?X?b)??()??()
?? 第五章
nL??f(xi;?)i?1L??p(xi;?)i?1n似然函数
均值的区间估计——大样本结果
卡方分布
22若X~N(0,1)，则?Xi~?(n)
i?1
????x?z?/2?n??~?(n)2
若Y~N(?,?),则21?2??Y???ii?1n2
页脚内容
x—样本均值—标准差(通常未知，可用样本标准差s代替)—样本容量(大样本要求n?50)?nz?/2—正态分布的分位点
概率论与数理统计公式总结
