2020届高考数学(文)课标版二轮复习训练习题：专题五第3讲第1课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题

第3讲 圆锥曲线的综合问题

第1课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题

解答题

1.(2019山东济南学习质量评估)已知椭圆C:??2+??2=1(a>b>0)的离心率为2,右焦点为F,且该椭圆过点(1,-√3). 2

??2??2

√3(1)求椭圆C的方程;

(2)当动直线l与椭圆C相切于点A,且与直线x=角形. 解析

??√313

(1)由题意得??=2,??2+4??2=1,又a2=b2+c2,所以b2=1,a2=4,即椭圆C

4√3相交于点B时,求证:△FAB为直角三3

的方程为4+y2=1.

??2

(2)证明:由题意可得直线l的斜率存在, ??=????+??,

设l的方程为y=kx+m,联立得{??2 2

+??=1,4得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

又Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)=0,得m2=4k2+1>0. 设A(x1,y1),则x1=2(4??2+1)=2??2=-??,y1=kx1+m=易得B(

4√34√3,3k3

-8????

-8????

4??

-4??2??

+m=??,即A(-??,??).

14??1

+m),F(√3,0),

???? =(-4??-√3,1),????? =(√3,4√3k+m), 则?????????

????33

????? ·????? =√3(-4??-√3)+1(4√3k+m)=-4√3k-1+4√3k+1=0, ????????3????33??3??????? ⊥????????? ,即△FAB为直角三角形. 所以????

2.(2019河北九校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于M,N两点,且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程;

?????? ·?????????? 的最小值. (2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求????

解析 (1)由题意可知F(2,0),则直线MN的方程为y=x-2,代入y2=2px(p>0)得x-3px+4=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3p,

∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2, ∴抛物线C的方程为y2=4x.

(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0, ∵直线l为抛物线C的切线,∴Δ=0,解得b=1, ∴直线l的方程为y=x+1.

由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1,设P(m,m+1), ????? =(x2-m,y2-(m+1)), 则?????? ????=(x1-m,y1-(m+1)),?????∴

?????? ????? =(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+????·?????1)2,

(y1y2)2=16x1x2=16,∴y1y2=-4,

22

??1-??2=4(x1-x2),∴y1+y2=4×??1-??2=4,

1

2

????

2

??2

??-??

?????? ????? =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2 ????·?????=2(m2-4m-3) =2[(m-2)2-7] ≥-14,

????? 取得最小值-14. 当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,?????? ????·?????

3.(2019河北石家庄模拟(一))已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r2(0

??

??

2??0=??0+,

2{2????=4,

0??>0,

解得{

??=2,

??0=1,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由题意知,过点P引圆(x-3)2+y2=r2(0

2

同理可得(r2-4)??2-8k2+r2-4=0.

|2??1+2|2+1√??1

2

=r,整理得(r2-4)??1-8k1+r2-4=0.

所以k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的两个根, k1+k2=??2-4,k1k2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由{

??=??1(x-1)+2,8-4??12

得,ky-4y-4k+8=0,由根与系数的关系知,2y=,所以111

??1??2=4x

4-2??1??1

8

y1=

=??-2=4k2-2,同理可得y2=4k1-2.

1

4

2+??2(4??-2)2+(4??-2)2??1+??2??122

t=2=82=281=2(??1+??2)-2(k1+k2)+1

=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3, 设λ=k1+k2,则λ=??2-4∈[-4,-2),

所以t=2λ2-2λ-3,其图象的对称轴为λ=2>-2,所以9

4.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)如图,椭圆??2+??2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值为M,|BF|的最小值为m,满足M·m=4a2. (1)若线段AB垂直于x轴时,|AB|=2,求椭圆的方程;

(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记△GFD的面积为S1,△OED的面积为S2,求??1的取值范围.

2

8

1

??2??2

3

3

??

解析 (1)由题意得F(-c,0),则根据椭圆的性质得, M=a+c,m=a-c,又M·m=4a2, ∴a2-c2=4a2,即a2=4c2,a=2c. 又|AB|=

2??23??3

3

=2,且a2=b2+c2,∴a=1,b2=4,

2

24??

3

∴椭圆的方程为x+

3

=1.

(2)由(1)可知a=2c,则b=√??2-??2=√3c, 椭圆的方程为

??24??23??2

+

??2

=1.

由题意知直线AB的斜率一定存在且不为零, 设直线AB的方程为y=k(x+c)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

??=??(??+??),则由{??2消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0, ??2

+3??2=14??2∴x1+x2=-4??2+3,y1+y2=k(x1+x2+2c)=4??2+3, ∴G(-4??2+3,4??2+3). ∵DG⊥AB,设D(xD,0), ∴

3????4??2+34????2-2-????4??+3

8????2

6????

4????2

3????

·k=-1,∴xD=-4??2+3.

????2

易得Rt△FGD与Rt△EOD相似, ∴??=????2=

2

??1????2

2

4????2????23????2(-2+2)+(2)4??+34??+34??+3

22????

(-2)4??+3

=9+??2>9.

9

故??1的取值范围是(9,+∞).

2

??