二次函数代数方面的应用
一、选择题
1. (2019·潍坊)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+
bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.2≤t<11 B.t≥2 C.6<t<11 D.2≤t<6
【答案】A
【解析】由题意得:?b?1,b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1<x<4时,其2图象如图所示:
从图象可以看出当2≤t<11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是2≤t<11,故选择A.
方法二:把y=x2-2x+3-t(-1<x<4)的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点,向下平移11个单位时开始无交点,故2≤t<11,故选择A.
2y?x?4x?a的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单
2. (2019·淄博)将二次函数
位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是 ( ) A.a>3
B.a<3
C.a>5
D.a<5
【答案】D.
【解析】∵y?x?4x?a?(x?2)?(a?4),向左平移一个单位,再向上平移一个单位
后的解析式为
22y?(x?1)2?(a?3),
2令2?(x?1)?(a?3),即x?2x?a?4?0,
2由⊿?4?4(a?4)>0,得a<5.
3. (2019·湖州)已知a,b是非零实数,
a?b,在同一平面直角坐标系中,二次函数
y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是( )
yyyOxyOOxOxxA.
【答案】D.
b??x1?1?y?ax?b?x2??【解析】由?,解得?,?a,故直线与抛物线的两个交点坐2y?a?by?ax?bx?1???y2?0标分别为(1,a+b)和
(-
b,0).对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知:a<0,b>0.∵a?b,∴aa+b<0.从而(1,a+b)在第四象限,因此D选项不正确,故选D.
二、填空题
1.(2019·安徽)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x﹣a+1和y=x2﹣2a x的图像相交于P,Q两点,若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 【答案】a>1或a<-1
【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质,二次函数图象及性质,平移的性质,以及数形结合,解题的关键是结合题意,画出图象,利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内,两个函数的值都小于0,即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上,则x-a+1=0,x=a-1,代入二次函数的表达式中,得:(a-1)2-2a(a-1)=0,解得:a=1或a=-1.
当a>1 时,随着a的变大,直线向右平移运动,抛物线向右、向下平移运算,如图,此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限;当a<-1时,随着|a|的变大,直线向左平移运动,抛物线向左、向下平移运算,此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述,a的取值范围为a>1或a<-1.
y-1Ox 2. (2019·潍坊)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴
上的一个动点.当△PAB的周长最小时,S△PAB= .
【答案】
12 5?y?x?12?y?x?4x?5【解析】解方程组?,得:?
?x1?1?x2?4,?. y?2y?5?1?2∴A(1,2), B(4,5),
作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点P.
则A′(-1, 2).
设直线A′B解析式为y=kx+b,
则???k?b?2,
?4k?b?53?k?,??5解得:?
?b?13?5?∴直线A′B:y?313x?. 5513). 5∴当△PAB的周长最小时,点P的坐标为(0,
设直线AB与y轴的交点为C,则C(0,1)
∴S△PAB=S△PCB-S△PCA
=
113113?(?1)?4??(?1)?1 252512 5.
=
3. (2019·乐山) 如图,点P是双曲线C:
y?4x(x?0)上的一点,过点P作x轴的
垂线交直线AB:
y?1x?22于点Q,连结OP,OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在
Q的上方时,△POQ面积的最大值是 .