二次函数代数方面的应用
一、选择题
1. （2019·潍坊）抛物线y=x2＋bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2＋
bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【答案】A
【解析】由题意得：?b?1，b=－2，抛物线解析式为y=x2－2x+3，当－1＜x＜4时，其2图象如图所示：
从图象可以看出当2≤t＜11时，抛物线y=x2－2x+3与直线y=t有交点，故关于x的一元二次方程x2＋bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是2≤t＜11，故选择A．
方法二：把y=x2－2x+3－t（－1＜x＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t＜11，故选择A．
2y?x?4x?a的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单
2. （2019·淄博）将二次函数
位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是 （ ） A.a＞3
B.a＜3
C.a＞5
D.a＜5
【答案】D.
【解析】∵y?x?4x?a?(x?2)?(a?4)，向左平移一个单位，再向上平移一个单位
后的解析式为
22y?(x?1)2?(a?3)，
2令2?(x?1)?(a?3)，即x?2x?a?4?0，
2由⊿?4?4(a?4)＞0，得a＜5.
3. （2019·湖州）已知a，b是非零实数，
a?b，在同一平面直角坐标系中，二次函数
y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是（ ）
yyyOxyOOxOxxA．
【答案】D．
b??x1?1?y?ax?b?x2??【解析】由?，解得?，?a，故直线与抛物线的两个交点坐2y?a?by?ax?bx?1???y2?0标分别为(1，a＋b)和
(－
b，0)．对于D选项，从直线过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0．∵a?b，∴aa＋b＜0．从而(1，a＋b)在第四象限，因此D选项不正确，故选D．
二、填空题
1．（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x﹣a+1和y=x2﹣2a x的图像相交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 . 【答案】a＞1或a＜－1
【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上，则x－a＋1＝0，x＝a－1，代入二次函数的表达式中，得：(a－1)2－2a(a－1)＝0，解得：a＝1或a＝－1.
当a＞1 时，随着a的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a的取值范围为a＞1或a＜－1.
y－1Ox 2. （2019·潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴
上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．
【答案】
12 5?y?x?12?y?x?4x?5【解析】解方程组?，得：?
?x1?1?x2?4，?． y?2y?5?1?2∴A（1，2）, B（4，5）,
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P．
则A′（－1， 2）.
设直线A′B解析式为y=kx+b，
则???k?b?2，
?4k?b?53?k?,??5解得：?
?b?13?5?∴直线A′B：y?313x?． 5513）． 5∴当△PAB的周长最小时，点P的坐标为（0，
设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）
∴S△PAB=S△PCB－S△PCA
=
113113?(?1)?4??(?1)?1 252512 5.
=
3. （2019·乐山） 如图，点P是双曲线C：
y?4x（x?0）上的一点，过点P作x轴的
垂线交直线AB：
y?1x?22于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在
Q的上方时，△POQ面积的最大值是 .
2019年全国中考数学真题分类汇编6：二次函数代数方面的应用
