5.2 电磁场基本方程和媒质分界面条件

5.2 电磁场的基本方程·分界面上的衔接条件

5.2.1 电磁场的基本方程组

（1）基本方程

总结电磁场的基本规律，就可以得到概括电磁现象的基本方程组，又称为麦克思韦尔方程组。其积分形式

?lH?dl??S?E?dS??S?v?dS??S?lE?dl???S?B?t?D?t ?dS （5.2.1）

?dS （5.2.2）

?SB?dS?0 （5.2.3） ?D?dS?q （5.2.4）

S微分形式

??H?Jc??D?t（?Jv??D?t） （5.2.5）

??E???B?t （5.2.6）

（5.2.7） ??B?0

??D?? （5.2.8）

基本方程组中各方程的意义是

（1）全电流定律（Maxwell第1方程）：除运动电荷之外，变化的电场是产生磁场的场源，

?D?t为其矢量源密度，变磁场是有旋场，H线是闭合的。

?B?t（2）电磁感应定律（Maxwell第2方程）：变化的磁场是产生电场的场源，?为其矢量源密度，时变电场是有旋场，E线可以闭合；

（3）磁通连续性原理（Maxwell第3方程）：时变磁场是无散场。这一结论符合迄今为止尚未发现有单独的磁荷存在这一事实。

（4）高斯通量定理（Maxwell第4方程）：时变电荷仍然是时变电场的通量场源，

时变电场是有散场。 （2）几点说明

① 麦克思韦尔方程组适用于相对所选坐标系为静止媒质的宏观电磁现象。此时，媒质的性能参数?、?、?与时间无关。

② 电荷守恒定律是电磁场理论中的一个基本公理，在推导出电磁场基本方程的过程中，它起了重要作用。麦克思韦尔在总结电磁场基本规律时考虑到：

a) 电磁场基本方程应反映出时变电磁场的全部场与源的关系。以充分反映出变化的磁场伴随一个变化电场，变化的电场伴随有变化磁场，这种相互依存、相互制约、不可分割的关系。

b) 通过Maxwell第1、第4两基本方程可以导出电荷定恒定律。 所以不需要将电荷守恒定律列为基本方程。

③ 掌握基本方程应全面理解，注意每一方程的物理意义和准确的表达形式。作为电磁场基本方程的一般形式，可由它们导出静态场的基本方程。

④基本方程的积分形式适用于各种媒质，它的微分形式只能应用于连续媒质中，在媒质分界面上不成立。

⑤ 基本方程没有反映媒质对场量分布的影响，确定场量之间的关系。所以，基本方程并不完备，又称之为未限定形式（或称泛定形式）。 （3）性能方程

在各向同性线媒质中，场矢量E、D、B 、H都和媒质的性能相关，需要三个描述媒质特性的构成方程

D??0E?P??E （5.2.9） B??0(H?M)??H （5.2.10） Jc?Jc(E)??E （5.2.11）

构成方程的表达形式随着媒质的特性不同而不同，尽管它们不是基本方程，但它们反映媒质对场的影响，使基本方程成为限定方程，从而可以实现对具体电磁场

问题的求解。

5.2.2 媒质分界面衔接条件

在媒质分界面上基本方程的微分形式不成立，要求解场的分布，就必须研究分界面上场量的变化情况。

（1）时变电磁场场量分界面衔接条件

有媒质参数为?1、?1、?1和?2、?2、

?2的两种媒质，在它们的分界面上某点P

处，作分界面法向单位矢量en（方向由第一种媒质指向第二种媒质）。在分界面上有可能存在自由面电流（面密度为k）或自由面电荷（面密度为?），位移电流可能按体密度分布在界面两侧的媒质中。

运用麦克思韦尔方程组4个方程的积分形式，效仿静态场中的推导方式，可以得出：

H1(E1)en?2 ?2 ?2 α2(β2) H2(E2) ?1 ?1 ?1 P α1(β1) 媒质分界面上的场矢量 en??H2?H1??k （5.2.12）

en??E2?E1??0

（5.2.13）

en??B2?B1??0 （5.2.14）

en??D2?D1??? （5.2.15）

以上媒质分界面衔接条件说明：电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量总是连续的。在分界面上当k = 0或 ?= 0时，磁场强度的切向分量或电位移矢量的法向分量就成为连续的了。表现为如下标量形式的媒质分界面衔接条件：

E1t?E2tB1n?B2n

H1t?H2tD1t?D2n （5.2.16）

（2）折射定律

在各向同性线性媒质分界面上，电场的入射角为?1，折射角为?2，磁场入射角为?1，折射角为?2。如果k?0、??0，由上式有

E1sin?1?E2sin?2

?1E1cos?1??2E2cos?2

H1sin?1?H2sin?2

?1H1cos?1??2H2cos?2

可以导出

tg?1tg?2tg?1tg?2??1?2 （5.2.17）

??1?2 （5.2.18）

上面两式称为电磁场的折射定律。 （3）理想导体表面处的边界条件

电导率???的理想化导体称为理想导体。当电导率???时，导体中的电流密度Jc不可能无限大，即是说导体中的电场强度E?Jc?0。所以，理想导体中没

?有电场，于是其上的电流只可能在导体表面流动，自由电荷也只可能分布在其表面。

又根据电磁感应定律 ??E???B?t，这意味着导体内不存在变化的磁场（若有

恒定磁场存在，它与电场无关），于是可认为导体中也没有磁场。

由上分析可见，在理想导体中：E?0，D?0，B?0，H?0。 假设理想导体与空气相界，如图所示。按照两媒质分界面衔接条件，有

en??H2?H1??ken??B2?B1??0en??E2?E1??0， en??D2?D1???

因导体侧有E1?D1?0， H1?B1?0，则条件成为

enen?H2?k E2t?E1t?0

B2n?B1n?0en?D2??

E2,D2 B2,H2?2 ?1?? k

P 由上可知，在紧靠媒质分界面的空气侧，分界面边界条件是

en?H2?kB2?B2tetE2?E2nenen?D2??

E1?D1?H1?B1?0理想导体与空气相界情况

（5.2.19）

可见将良导体理想化为理想导体后，分界面边界条件将大为简化。

5.2.3 计算举例

例1. 在两块导电平板z?0和z?d之间的空气中传播的电磁波，电场强度为 E?E0sin?dzcos??t??x?ey

其中?为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）两块导电平板表面上的面电荷密度σ；（3）两块导电平板表面上的面电流密度k。 解：（1）由Maxwell第2方程的微分形式??E???H1?B?t

?Ey?1??Ey????????E?e?e xz? ??t?0?0??z?x??Ey??Ey?ex?ez?dt H??????0??z?x?1????E0??????coszcos?t??xe??Esinzsin?t??xe??x0z?dt

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