四、空气流动的能量方程（伯努利方程）
连续性方程表明，当空气在管道内作稳态流动时，其速度将随着截面积的变化而变化。通过实验还可以观察到，其静压力也将随着截面积的变化而变化。例如，流体在水平锥形管道中作稳态流动（见图），截面1—1小于截面2—2。空气由小截面1—1处进入锥形管。若用U形压力计分别在1—1，2—2截面处测定静压力，则可观察到1—1截面处的压力小于2—2截面处压力，即P1〈 P2，若考虑流动阻力会消耗能量，但这只能导致P2〈 P1，现在却相反。这就启发人们，只能从截面的变化上去分析原因。这个现象表明，截面大的地方流速小，压力大，截面小的地方流速大，压力小。但这一现象并不表明静压力与速度在数值上成反比关系，它只是反映了静压力与动压力在能量上的相互转换。为了得到这种能量转换的定量关系，可作以下分析。 一根两端处于不同高度的变径管。理想流体（忽略粘性的流体）在管道内作稳态流动，管道中任取1—2流体段。在很短的时间内，1—2流体运动到了1’—2’位置。由于在很短时间内，流过的1—1’的距离很小，所以1到1’的流速U1、静压力P1、截面积A1和高度Z1的变化也很微小，可认为不变。同理，2—2 ’处的U2、P2、A2、Z2也可看作不变。
1—2流体段在向前流动的过程中，它所受到的外力有：截面1处后面流体向前的推力F1和截面2处前面流体的阻力F2。
由于：F1=P1A1；F2=P2A2
流体由1—2位置流动到1’—2’位置，在时间t内F1和F2所作的功为： W=F1v1t—F2v2t=P1A1v1t-P2A2v2t 根据连续性方程：
A1v1=A2v2=Q，所以：W=P1Qt-P2Qt
由于流量Q乘以时间t即为体积V，上式又可写为： W=P1V-P2V
理想流体从1—2流到1’—2’时，在1’—2 ’段内的流体情况没有发生变化。因此，在这个流动过程中所
发生的变化只是把1—1 ’这段流体移到了2—2’的位置。由于这两段流体的速度和所处的高度不同。它们的动能和势能也就不等。假设1—1’和2—2 ’处的总机械能分别为E1和E2，则： E1=1/2mv1+mgz1 E2=1/2mv2+mgz2 能量的增量：
E=E2-E1=（1/2mv2+mgz2）-(1/2mv1+mgz1)
理想流体流动时没有流动阻力，因而也没有能量损耗，流体流动时能量的增量就等于外力所做的功W，即△E=W。所以：
P1V-P2V=（1/2mv2+mgz2）-（1/2mv1+mgz1） 即 P1V+1/2mv1+mgz1=P2V+1/2mv2+mgz2
管道中截面A1，A2是可任意选取的，因此，对于任意一个截面均有： PV+1/2mv+mgz=常数
式中：PV是体积为V的流体所具有的静压能。
上式是伯努利于1738年首先提出的，故称伯努利方程。它是流体力学中重要的基本方程式，该方程式表明了一个重要的结论：理想流体在稳态流动过程中，其动能、位能、静压力之和为一常数，也就是说三者之间只
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会相互转换，而总能量保持不变。该方程通常称为理想流体在稳态流动时的能量守恒定律或能量方程。当空气作为不可压缩理想流体处理时，则也服从这个规律。由于空气的ρ值都很小，位能项与其它二项相比则可忽略不计。因此，对于空气的能量方程可写成： PV+1/2mv=常数
方程两边同时除以V，则得： P+1/2ρv=常数 式中：
P—空气的静压力； 1/2ρv—空气的动压力。
方程右边的常数便代表了空气流动时的全压力。若以符号H全、H静、H动表示，则有：
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H全=H静+H动=常数
上式所表明的静压力和动压力之间的关系与前述实验结论完全相符。当空气在没有支管的管道中流动时，对于任意两个截面，根据上式，以相对压力表示的伯努利方程可写成：
H静1+H动1=H静2+H动2
应用以上伯努利方程时，必须满足以下条件：
不可压缩理想流体在管道内作稳态流动；
流动系统中，在所讨论的二个截面间没有能量加入或输出； 在列方程的两截面间沿程流量不变，即没有支管；
截面上速度均匀，流体处于均匀流段。在速度发生急变的截面上，不能应用该方程。
以上所讨论的伯努利方程，表明的是理想流体作稳态流动时的规律，也即认为是没有能量损耗的。但是实际上空气是有粘性的，流动时将由于流体的内摩擦作用而产生能量损失，若空气由1—2段流动至1—2 段时的能量损耗用H损1-2表示，根据能量守恒定律，则应有：
，
，
H静1+H动1=H静2+H动2+H损1-2 或： H全1=H全2+ H损1-2
这种能量损失表现为压力的变化，也叫压力损失。
由公式可得，风管内任意两截面间的压力损失等于该两截面处的全压力之差，即：
H损1-2=H全1－H全2
对于等截面的风管，由于管内空气的流速到处相等，即任意截面处的动压力H动相等。根据公式，任意两截面间的压力损失则应等于该两截面处的静压力之差，即：
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