专题一：二次函数中的面积问题
（一）利用割补：将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
例1：如图抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-3), （1）k=___-3_____,点A的坐标为___(-1,0)___，点B的坐标为____(3,0)____； （2）设抛物线的顶点为M，求DBCM的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
解：（2）M（1，-4）；
SDBCM=SDOCM+SDBOM-SDBOC111′3′1+′3′4-′3′3222=3 =(3)设D(m,m2-2m-3),
S四边形ABDC=SDAOC+SDBOD+SDCOD111′1′3+′|m2-2m-3|′3+′m′3 22215=-m2+m+32 2=b555=-=,0 2轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 13解：（1）y=-x2+x+2 22(2)对称轴x=-b33=,\\D(,0)， 2a221313令-x2+x+2=0,x1=-1,x2=4,\\B(4,0) ,设F(a,-a2+a+2), 2222S四边形CDBF=SDCOF+SDBOF-SDCOD11123135 2=′2′a+′4′(-a+a+2)-′2′=-a+4a+222222 2413∵-=2,0 2 2′(-1)1此时，直线BC解析式可求得y=-x+2,\\E(2,1)2 练习2：已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）． 点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在点P，使S△PAB= 5S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将B(0,3)代入得a=-1 \\y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,令y=0得x1=-1,x2=3,\\A(3,0) 连结OC，SDABC=SDCBO+SDACO-SDABO=3,\\SDPAB=设P(m,-m2+2m+3),连结OP、BP, 5515×SDABC=′3= 444SDPAB=SDBPO+SDAPO-SDAOB=11139′3′m+′3′(-m2+2m+3)-′3′3=-m2+m 222223915-m2+m=,整理得2m2-6m+0,D=(-6)2-4′2′5=-4<0,所以不存在这样的点P。 24 21（二）S=′水平宽′铅垂高 2例2、【练习2变式】已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在点P，使S△PBC=由． 解：同练习2， 5S△CAB？若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说明理4515SDCAB==SDPBC，延长BC交直线PD于点E， 44设直线BC的解析式为y=kx+b, 将点B(0,3),C(1,4)代入得直线BC解析式为y=x+3, 设P(a,-a2+2a+3),则E(a,a+3),PE=|a+3-(-a2+2a+3)|=a2+3a 1×PE×(xC-xB)=2-3+39-3-a1=,a2=22-3+39\\xP=2 SDPBC= 1215(a+3a)=2439(舍去) 练习3、如图1，抛物线y=-x271+x+2 与直线l1:y=-x-3交于点A，点A的横坐标22为?1，直线l1与 x轴的交点为D，将直线l1向上平移后得到直线l2，直线l2刚好经过抛物线与x轴正半 轴的交点B 和与y轴的交点C． （1）直接写出点A和点D的坐标，并求出点B的坐标； （2）若点M是抛物线第一象限内的一个动点，连接DM，交直线l2于点N，连接AM和AN． 设△AMN的面积为S，当S取得最大值时，求出此时点M的坐标及S的最大值； 解：（1）A(-1,-)、D(-6,0) yDCyNMBOl2Ax图1 l152CNMB ∵C(0,2) ∴直线l2：y=-1x+2 2DOl2Ax 令y=0时，x=4, ∴B(4,0) ……4分 (点B坐标也可以由二次函数的解析式求得) 图1 H l1
中考数学专题一(二次函数面积问题)
