第七讲 二次根式的运算
式子a (a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)ac?bc?(a?b)c (c≥0)； (2)a?b?ab (a?0,b?0)； (3)
aba (a?0,b?0)； b? (4)(a)2?a2(a?0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知y?x2?2?5x?4x2?2?2，则x2?y2= ． (重庆市竞赛题) 4?5x 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质： (1)a?0，说明了a与a、a2n一样都是非负数；
(2) (a)2?a (a?0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) (a)2?a，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
?x2?2?0??5x?4提示：?2?x2?2?0,y?2?x2?y2?6
?x?2?0??4?5x【例2】 化简1?1n2?1(n?1)2，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)
11111111 A．1?? B．1?? C．1??D．1??
nn?1nn?1nn?1nn?1思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式=121n?1221n?112n?11 （C） (1?)2???()???(?)??nn(n?1)2nn(n?1)2nn?1nn?1 1
【例3】计算： （1）
6?43?32(6?3)(3?2)13?3?153?35； （2）175?5710?14?15?2110?14?15?211；
（3）????4947?4749；
（4）315?10?26?33?2?185?23?1．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分
拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式
?6?(6?33)(?3?2)33??(632?3?)(312?)?(33?2)?(3?2?)(63)(?6 3)=6?2 （2）原式=10?14?15?2110?14?15?21?2(5?7)?3(5?7)2(5?7)?3(5?7)?(2?3)(5?7)(2?3)(5?7)
?(2?3)(3?2)??(5?26)?26?5
（3）考虑一般情形1(2n?1)(2n?1)?(2n?1)(2n?1)?12n?12n?1(2n?1?2n?1)?
?(2n?1?2n?1)2n?12n?1(2n?1?2n?1)?(2n?1?2n?1)111?(?) 22n?122n?12n?12n?1原式?11111111113{(?)?(?)???(?)}?(?)? 2217713354749（4）315?10?26?33?2?185?23?1?(315?10)?(18?26)?(33?2)5?23?1?(33?2)(5?23?1)5?23?1
?5(33?2)?23(33?2)?(33?2)5?23?1?33?2
【例4】 (1)化简4?23?4?23； (北京市竞赛题) (2)计算10?83?22 (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算a?2a?1?a?2a?1． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，
2
原式?1?23?(3)?221?23?(3)?(1?23)?(1?23)?1?3?3?1?23此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式?(4?23?4?23)2?4?23?24?23?4?23?4?23 ?8?242?(23)2?8?2?16?12?12?23 (2) 原式?10?812?22?(2)2?10?8(1?2)2?10?8(1?2) ?42?2?42?(2)2?(4?2)2?4?2
(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题． 原式?1?2a?1?(a?1)?1?2a?1?(a?1)?2222(1?a?1)2?(1?a?1)2 ??2 当a?1?1，即1?a?2时?1?a?1?1?a?1??
??2a?1 当a?1>1，即a?2时 1 【例5】 已知a?b?2a?1?4b?2?3c?3?c?5，求a?b?c的值．(山东省竞赛题)
2思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：
1[(a?1)2?2a?1?1]?[(b?2)2?2?2a?1?22]??[(c?3)2?2?3c?3?92]
21即(a?1?1)2?(b?2?2)2]?(c?3?3)2?0，因此有a?1?1?0，得a?2；
2b?2?2?0，得b?6；c?3?3?0，得c?12。故a?b?c?2?6?12?20。
学历训练
1．如果y?2x?3?3?2x?2，那么4x?y= ． 2．已知xy?3，那么xyx?y的值为 ． (成都市中考题) xyyxxyx?y?提示：原式?xx2y2xyxy?y?xy?23 当x、y均为正xy?(?)xy??
xy???23 当x、y均为负3．计算(3?1)2001?2(3?1)2000?2(3?1)1999?2001= ．(天津市选拔赛试题)
原式?(3?1)1999[(3?1)2?2(3?1)?1?3]?2001?(3?1)1999[(3?1?1)2?3]?2001?2001
ab54．若 ab≠0，则等式???1b3?ab成立的条件是 ．(淄博市中考题)
3
??ab1?ab?ab33??ab，即故，因此b?0，∵ ?ab?0，∴a?0 ?b??b6333bbbb5．如果式子(x?1)2?x?2 化简的结果为2x?3，则x的取值范围是( B ) A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子(1?a)?1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ） 1?a A．1?a B．a?1 C．?a?1 D．?1?a 7．已知x?2xy?y?0(x?0,y?0)，则
3x?xy?y5x?3xy?4y的值为( D )
1312A． B． C． D．
2433a2?1a2?2a?1?8．已知a?，那么的值等于（ ） a?12?3a2?a1A．?(1?23) B．?1 C．2?3 D．3 9．计算：
(1)1999?2000?2001?2002?1；
（2）3?22?5?26?7?212?9?220?11?230?13?242?15?256?17?272；
11?57?467?77?66?421997(1997?1999)(1997?2001)（3）（4）
；
1999(1999?1997)(1999?2001)2001(2001?1997)(2001?1999)??
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知9?13与9?13的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值； (2)设x?n?1?nn?1?n，y?n?1?nn?1?n，n为自然数，如果2x2?197xy?2y2?1993成立，
求n．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
4
(供选用数据：2?1.4，3?1.7) (贵阳市中考题) 12．已知x?3?23?2，y?3?23?2，那么
yx2?xy2= ．(杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足x?y?1?z?2?1(x?y?z)，则(x?yz)3= ． 2(北京市竞赛题)
14．设27?102?a?b，其中a为正整数，b在0，1之间，则
a?b= ． a?b15．正数m、n满足m?4mn?2m?4n?4n?3，则
(北京市竞赛题)
16．化简23?22?17?122等于( )
m?2n?8m?2n?2002= ．
A．5—42 B．42一1 C． 5 D．1 (全国初中数学联赛题) 17．若1?x?1?x，则(x?1)2等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) Ax?1 B．1?x C．1 D．－1
18．若a?b,a、b、a?b都是有理数，那么a和b ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A．都是有理数 B．一个是有理数，另一个是无理数 C．都是无理数 D．有理数还是无理数不能确定 19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；
??? ②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；
???③若α，β是互不相等的无理数，则??3?是无理数． 其中正确命题的个数是( )
A． 0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学联赛试题)
提示：①(2?1)(2?1)?[(2?1)?(2?1)]?1?2?3是有理数；答案A ?232?1是有理数； ③33②22?222?22?3?2?62?62?0是有理数。
20．计算： （1）
2?5?3230?62?43121?12?132?23； （2）
8?215?10?65?3?21；
（3）???10099?99100；
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初二数学竞赛讲座07 二次根式的运算解答提示
