经济数学基础教案

彭山电大教案

备 课 教 案

第 一 周 星期五 课 题 教学目的 函数 所需课时 2 理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。 重 点 函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。 难 点 反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。 教学过程： 一、组织教学 点名、组织课堂纪律 二、复习引入 同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。 三、讲授新课 一、函数的概念： 1、 函数的定义： 1） Def：设x和y是两个变量，D是给定的非空数集。若对于每一个数x?D，按照某一确定的对应法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y?f(x), x?D。 Note：（1）x称为自变量, y称为因变量或函数； （2）D称为定义域, 记作D f, 即D f?D； （3）f称为函数的对应法则； （4）集合{ y|y?f(x), x?D}称为值域。 当自变量x在定义域内取定某确定值x0时，因变量y按照所给函数关系求出的对应值y0叫做当x= x0时的函数值，记作y例1：已知f(x)?x?x0或f (x0) 1?x，求f?0?,1?x?1?f??,f??x?,?2??1?f??,f?x?1?,f?x2? ?2?1?0?1,解：f?0??1?01?1?1?12f???? 121?3??2 f??x??1???x?1?x?1???x?1?x x?1?1?1?1xf????x?1?x?1?1xf?x?1??21??x?1??x?1??x?1?2?x 1?x2f?x??1?x2例2：求下列函数的定义域 （1）f?x??3 25x?2x2（2）f?x??9?x （3）f?x??lg?4x?3? （4）f?x??arcsin?2x?1? （5）f?x??lg?4x?3??arcsin?2x?1? 解：（1）在分式3225x?2x?0中，分母不能为零，所以，解得，且x?0 x??5x2?2x52??2?????,0???0,???。 5??5?2即定义域为???,???（2）在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以9?x?0，解得?3?x?3即定义域为??3,3? （3）在对数式中，真数必须大于零，所以4x?3?0，解得x?3?3?，即定义域为?,??? 4?4?（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有?1?2x?1?1，解得0?x?1，即定义域为[0，1] （5）该函数为（3）（4）两例中函数的代数和，此时函数的定义域为（3）（4）两例中定义域的交集，即??3??3?,?????0,1???,1? ?4??4?小结：定义域的求解原则： - 2 -

（1）含时，x?0 （2）含x时，x?0 （3）含lnx时，x?0 （4）含arcsinx,arccosx时，x?1 （5）同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。 2）邻域： 设a,?为两个实数，??0，则称满足不等式x?a??即以a为中心的开区间1x?a??,a???为点a的?邻域。 点a为该邻域的中心，?为该邻域的半径。 四、练习： 求下列函数的定义域： （1）f?x??3 25x?2x2（2）f?x??9?x （3）f?x??lg?4x?3? （4）f?x??arcsin?2x?1? （5）f?x??lg?4x?3??arcsin?2x?1? 五、归纳小结 本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以后的继续学习打下良好的基础。 课后作业： ?x2,x?01、求函数y?ln(1?x)的定义域；2、作函数f(x)??的图像 ?2x,x?02反 思 录： - 3 -

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第 二 周 星期三 课 题 教学目的 函数 （1）理解复合函数、分段函数的概念。 （2）掌握函数的特性。 所需课时 2 重 点 函数特性的理解。 难 点 函数特性的理解。 教学过程： 一、组织教学 点名、组织课堂纪律 二、复习引入 1、什么叫做函数？ 2、求下列函数的定义域及值域。 （1）f?x??9?x 2（2）f?x??lg?4x?3? 三、讲授新课 分段函数 对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。 ??2x 0?x?1例3：函数y??. ??1?x x?1 这是一个分段函数, 其定义域为D?[0, 1]?(0, ??)? [0, ??). 当0?x?1时, y?2x; 当x>1时, y?1?x. 11?2; f(1)?2 1 ?2; f(3)?1?3?4. f()?222Note：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。 3、显函数和隐函数 若函数中的因变量y用自变量x的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。 一般地，若两个变量x,y的函数关系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函数关系隐

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藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。 例如：xy?ex?y?0 有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。 二、函数的几种特性： 1、函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)? K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y?K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一x?X, 有| f(x) |?M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y? ??M和y ? M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1?X, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)?sin x在(??, ??)上是有界的: |sin x|?1. 1 (2)函数f(x)?在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. x 这是因为, 对于任一M>1, 总有x1:?0?x1? f(x1)?1?M, x1所以函数无上界. 1 函数f(x)?在(1, 2)内是有界的. x1?1, 使 M2、函数的单调性 设函数y ? f(x)的定义域为D, 区间I ?D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y ? x2在区间(??, 0]上是单调增加的, 在区间[0, ??)上是单调减少的, 在（??, ??）上不是单调的. 3、函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D, 则?x?D). 如果对于任一x?D, 有f(?x) ? f(x), 则称f(x)为偶函数.

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