简单的线性规划问题
知识点一
名
线性规划中的基本概念称
意
义
约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数
可行解可行域最优解线性规划问题知识点二
线性规划问题
关于变量x，y的一次不等式(组) 关于x，y的一次不等式(组)
欲求最大值或最小值的关于变量
x，y的函数解析式
关于变量x，y的一次解析式满足线性约束条件的解
(x，y)
由所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1.目标函数的最值线性目标函数
z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是
.
z取得最小值；z取得最大值.
azz
y＝－x＋，在y轴上的截距是，
bbb
当z变化时，方程表示一组互相平行的直线
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，2.解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域
.
(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值(4)答：写出答案.
.
，x＋y－3≥０
例题讲解：已知实数x，y满足x－y＋1≥０，
x≤2.
1 / 9
(1)求2x＋y的最大值和最小值；
2
(2)求x＋y的最大值和最小值；
2
y
(3)求的最大值和最小值
x
.
，x＋y－3≥０
解：不等式组
x－y＋1≥０，表示的平面区域如图阴影部分所示x≤２
由由由
x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，x＝2，x－y＋1＝0，x＝2，x＋y－3＝0，
得得得
x＝1，y＝2，x＝2，y＝3，x＝2，y＝1，
∴A(1，2). ∴M(2，3). ∴B(2，1)
.
(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z. 当直线y＝－2x＋z经过可行域内的点时zmax＝2×2＋3＝7.
当直线y＝－2x＋z经过可行域内的点
A(1，2)时，直线在
y轴上的截距最小，
z也最小，此
M(2，3)时，直线在y轴上的截距最大，
z也最大，此
时zmin＝2×1＋2＝4.∴2x＋y的最大值为7，最小值为4.
(2)过原点(0，0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为y＝x.
y＝x，
3
x＝，23y＝，2
由
得
x＋y－3＝0
33∴N，.
22
33
点N，在线段AB上，也在可行域内，此时可行域内的点
22点N到原点的距离最小
2
2
M到原点的距离最大，9
≤x2＋y2≤13，2
.又|OM|＝13，|ON|＝
9，即2
9
∴x＋y的最小值为，最大值为13.
2y
(3)∵表示可行域内一点
x
(x，y)与定点O(0，0)连线的斜率，知
y1ykOB≤≤kOA，即≤≤２，
x2x
y1
∴的最大值为2，最小值为. x2题型一：求线性目标函数的最值问题
x－2y＋5≤０
1、已知x、y满足约束条件
x＋3≥０y≤２
解析
画出可行域(如图阴影部分所示
)．
，则z＝x＋2y的最大值是3
画直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M．
2 / 9
解方程组
x－2y＋5＝0y＝2
，得点M(－1,2)．
zmax＝－1＋2×2＝3．
∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且
，x＋2y≥１
2、已知变量x，y满足约束条件
x＋2y≥１，
解析
作出不等式组
，则z＝x－2y的最大值为1 x－y≤１
y－1≤０，
，表示的平面区域，得到如x－y≤１
y－1≤０
A(－1，1)，B(2，1)，C(1，
图的△ABC及其内部，其中
0)，设z＝F(x，y)＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点C时，目标函数0)＝1
x≥１，
3、设变量x，y满足约束条件解析联立
作出可行域，如图所示x＋y－4＝0，x－3y＋4＝0，
解得
z达到最大值，∴z最大值＝F(1，
，则目标函数x＋y－4≤０
x－3y＋4≤０，.
z＝3x－y的最大值为4.
x＝2，y＝2.
大值4.
当目标函数z＝3x－y移到(2，2)时，z＝3x－y有最
x≥０，
4、已知实数最大值为8. 解析
由不等式组表示的可行域知，目标函数
3x＋y－6≥０，
5、设变量x，y满足约束条件解析
可行域如图阴影部分
z在点A(0，2)处取得最大值
8.
x，y满足约束条件
y≥０，x＋y≤２，
则z＝
2x＋4y的
，则目标函数x－y－2≤０，y－3≤０
z＝y－2x的最小值为－7
(含边界).
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过D点时，z取得最小值. 由
y＝3，
得D(5，3).∴zmin＝3－2×5＝－7.
x－y－2＝0
x≤２，
6、若x，y满足约束条件
y≤２，
则z＝x＋2y的取
值范围是
，x＋y≥２
[2，6]
3 / 9
解析如图，作出可行域，
作直线l：x＋2y＝0，将l向右上方平移，过点值范围为[2，6].
2x＋y≥４，
A(2，0)时，有最小值
2，过点B(2，2)时，有最大值
6，故z的取
－1，求x＋y的取值范围. 7、设x，y满足x－y≥
，x－2y≤２
解
如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在
y轴上的截
距，当目标函数平移至过可行域2x＋y＝4，x－2y＝2，
解得A(2，0).
A点时，z有最小值.联立
z最小值＝2，z无最大值，∴x＋y∈[2，＋∞).8、已知O是坐标原点，点
A(－1，1)，若点M(x，y)为平
→→
OA·OM的取值范围是[0，2]
，x＋y≥２
面区域
x≤１，y≤２
解析
作出可行域，如图所示，
上的一个动点，则
→→
因为OA·OM＝－x＋y.
所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，
易知过点P(1，1)时，z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点Q(0，2)时，z有最大值，zmax＝0＋2＝2，→→所以OA·OM的取值范围是[0，2].
2x－y＋1≥０
9、设x、y满足约束条件
，则z＝2x＋3y－5的最小x－2y－1≤０x≤１
值为__－10__ 解析
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10、在△ABC中，三个顶点分别为
A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，
y－x的取值范围为__[－1,3]__．
点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则解析
画出三角形区域如图，易知
2
kAB＝<1，
3
4 / 9
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，题型二：非线性目标函数的最值
x－y＋1≤０，
1、变量x，y满足条件
y≤１，x＞－1，
解析
作出不等式组对应的平面区域，设
z＝(x－2)2＋D(2，0)的距离z最小.
则(x－2)2＋y2的最小值为5
2
y，则z的几何意义为区域内的点到定点
的平方，由图象知由
y＝1，x－y＋1＝0，
得
CD的距离最小，此时x＝0，y＝1，
即C(0，1)，此时z＝(x－2)2
＋y2＝4＋1＝5，
4y＋4
，则目标函数z＝的最大值为5 2、已知x，y满足约束条件x＋y≤６
x＋2
，2x－y≤６，x－2≥０解析x，y满足约束条件
，x－2≥０
，表示的可行域如图：x＋y≤６
2x－y≤６
4y＋4y＋1
目标函数z＝＝4×，目标函数的几何意义是可行域
x＋2x＋2的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA的斜率最大. 由
x＝2，x＋y＝6，
可得A(2，4)，则目标函数
4y＋4
z＝的最大值
x＋2
＋44×４
为：＝5.
2×２
x≥１，
，3、实数x，y满足y≥０
，x－y≥０
解析
y－1
则z＝的取值范围是[－1，1)
x
作出可行域，如图所示，
l过
y－1
的几何意义是点(x，y)与点(0，1)连线l的斜率，当直线x
B(1，0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1，1).
x≥１，
4、已知
，则x2＋y2的最小值是5 x－y＋1≤０，2x－y－2≤０
5 / 9
新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习(20200729150950)
