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2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷

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2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷

一、填空题(1~12小题,每题4分,共48分)

(1) 已知函数y?x?a?x,则y??______________________.

axx1?2?xsin,x?0(2) 函数f(x)??在, (??,??)连续、可导,则a?______, b?______. x2??ax?b,x?0

(3) 定积分 (4) (5) 函数

?0?sinx?sin3xdx?______________________.

dx(?(x?t)f(x?t)dt)?______________________. dx019x展开成麦克劳林级数,则该级数的的系数为24(1?x)(1?x)(1?x)______________.

(6) 函数y?

(7) 改变积分次序

(8) 已知两点(1,0,0),(0,2,0)连成一条直线l,求点A(0,0,0)到直线l的距离

lnx的拐点坐标是______________________. x?10dx?f(x,y)dy?______________________.

x4xd?______________.

*x?x(9) 已知微分方程y???y?sinx的三个特解为y1?e?e?*y2?ex?211?cos2x, 210通

1111*?cos2x,y3?e?x??cos2x,210210则该方程的

______________________.

(2x?1)2n?1(10) 幂级数?(?1)的收敛域______________________.

nn?1?n

(11) 已知

f具有二阶连续偏导数,

z?f(x,y,xy),则

?2z?z?_____________. ?_________.

?x?y?x

2222(12) 已知曲面?为上半球面x?y?z?a与xoy平面上的圆面x?y?a所围,

222方向为外侧,则

333xdydz?ydzdx?zdxdy=______________________. ???

二、解答题:13~21小题,共102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(13)(本题满分10分)

2x?4xx). 求极限lim(x?02

(14)(本题满分10分) 求积分

1??Db2?x2?y2dxdy,其中D:{(x,y)|a2?x2?y2?b2}.

(15) (本题满分10分)

dyey? 求微分方程的通解. dx1?xey

(16) (本题满分12分)

?(?1)n?12n(?1)n?1x,求其和函数,并求? 已知幂级数?的和值.

n?1n(2n?1)n?1n(2n?1)?

(17)(本题满分13分)

x2在第一象限求曲线y?1?上一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围面

4积最小,并求此最小面积.

(18) (本题满分13分)

抛物面z?x?y被平面x?y?z?0截成一椭圆,求(0,0,0)到椭圆的最长与最短距离.

(19) (本题满分12分)

22

?x2 求曲线积分?(cosx?xy)dx?(?siny)dy,其中L是曲线y?sinx上由点

22L(0,0)到点(1,1)的一段弧.

(20) (本题满分12分)

设f(x)在[a,b]上连续,证明下面不等式:

12(1?f(x))dx(?a?a1?f2(x))dx?(b?a)

b2b

(21)(本题满分10分)

设f(x)在?0,1?上三阶连续可导,且f(0)?0,f(1)?存在一点?,使|f???(?)|?12.

1'1,f()?0,证明在?0,1?内至少22

2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷

2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷一、填空题(1~12小题,每题4分,共48分)(1)已知函数y?x?a?x,则y??______________________.axx1?2?xsin,x?0(2)函数f(x)??在,(??,??)连续、可导,则a?______,b?______.
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