2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷
一、填空题(1~12小题，每题4分,共48分)
(1) 已知函数y?x?a?x,则y??______________________.
axx1?2?xsin,x?0(2) 函数f(x)??在, (??,??)连续、可导,则a?______, b?______. x2??ax?b,x?0
(3) 定积分 (4) (5) 函数
?0?sinx?sin3xdx?______________________.
dx(?(x?t)f(x?t)dt)?______________________. dx019x展开成麦克劳林级数,则该级数的的系数为24(1?x)(1?x)(1?x)______________.
(6) 函数y?
(7) 改变积分次序
(8) 已知两点(1,0,0),(0,2,0)连成一条直线l,求点A(0,0,0)到直线l的距离
lnx的拐点坐标是______________________. x?10dx?f(x,y)dy?______________________.
x4xd?______________.
*x?x(9) 已知微分方程y???y?sinx的三个特解为y1?e?e?*y2?ex?211?cos2x, 210通
解
为
1111*?cos2x,y3?e?x??cos2x,210210则该方程的
______________________.
(2x?1)2n?1(10) 幂级数?(?1)的收敛域______________________.
nn?1?n
(11) 已知
f具有二阶连续偏导数,
z?f(x,y,xy),则
?2z?z?_____________. ?_________.
?x?y?x
2222(12) 已知曲面?为上半球面x?y?z?a与xoy平面上的圆面x?y?a所围,
222方向为外侧,则
333xdydz?ydzdx?zdxdy=______________________. ???
二、解答题：13~21小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13）（本题满分10分）
2x?4xx). 求极限lim(x?02
（14）（本题满分10分） 求积分
1??Db2?x2?y2dxdy,其中D:{(x,y)|a2?x2?y2?b2}.
(15) （本题满分10分）
dyey? 求微分方程的通解. dx1?xey
(16) （本题满分12分）
?(?1)n?12n(?1)n?1x,求其和函数，并求? 已知幂级数?的和值.
n?1n(2n?1)n?1n(2n?1)?
(17)（本题满分13分）
x2在第一象限求曲线y?1?上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围面
4积最小，并求此最小面积.
(18) （本题满分13分）
抛物面z?x?y被平面x?y?z?0截成一椭圆,求(0,0,0)到椭圆的最长与最短距离.
(19) （本题满分12分）
22
?x2 求曲线积分?(cosx?xy)dx?(?siny)dy,其中L是曲线y?sinx上由点
22L(0,0)到点(1,1)的一段弧.
(20) （本题满分12分）
设f(x)在[a,b]上连续,证明下面不等式：
12(1?f(x))dx(?a?a1?f2(x))dx?(b?a)
b2b
（21）（本题满分10分）
设f(x)在?0,1?上三阶连续可导，且f(0)?0,f(1)?存在一点?，使|f???(?)|?12.
1'1,f()?0，证明在?0,1?内至少22
2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷
