（2）过M作MN⊥AB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三角函数得出sin60°=MNm=，求出即可． OMn解：（1）①如图所示： 点M1和M2为所求； ②如图所示： 直线MN和直线EF（O除外）为所求； （2）如图： 过M作MN⊥AB于N， ∵M的“距离坐标”为（m，n）， ∴OM=n，MN=m， ∵∠BOD=150°，直线l⊥CD， ∴∠MON=150°-90°=60°， 在Rt△MON中，sin60°=MNm=， OMn3n． 2即m与n所满足的关系式是：m=点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
对应训练 5．（2012?钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换： ①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）； ②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）． 按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（ ） A．（7，6） B．（7，-6） C．（-7，6） D．（-7，-6） 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2012?六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（ ） A．（-6，5） B．（-5，-6） C．（6，-5） D．（-5，6）
2． （2012?湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入 7，则输出的结果为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．
3． （2012?丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．2010 二、填空题
B．2012
C．2014
D．2016
4．（2012?常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[
]的值为 ．
5．（2012?随州）概念：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ） A．2 B．1 C．4 D．3 6．（2012?荆门）新概念：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 11+=1的解为 ． x?1m7．（2012?自贡）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 ．
8． （2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 △ABC面积的BP= 时，P（lx）截得的三角形面积为BA1． 4 三、解答题 9．（2012?铜仁地区）如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= （1）ctan30°= ； （2）如图，已知tanA= 角?的邻边AC= ，根据上述角的余切概念，解下列问题： 角?的对边BC3，其中∠A为锐角，试求ctanA的值． 4 10．（2012?无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P（y1），P（y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|1x1，2x2，叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）． （1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形； （2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离． 11．（2012?厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如
果点P在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”． （1）判断点C（75,）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由； 22（2）若点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，求m的取值范围． 12．（2012?兰州）如图，概念：若双曲线y=B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（1）求双曲线y= （2）若双曲线y=k（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、xk（k＞0）的对径． x1的对径． xk（k＞0）的对径是102，求k的值． xk（3）仿照上述概念，概念双曲线y= （k＜0）的对径． x 13．（2012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=1AB，求∠APB2的度数． 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
14．（2012?嘉兴）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度； （2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值； （3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值． 15．（2012?台州）概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离． 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式． （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M， ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； ②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
专题讲座二：新概念型问题参考答案
中考数学新概念型问题剖析
