2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新概念 例1 （2012?永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ． 思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8． 解答：解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x， 则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21， 故答案为：21． 点评：本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为2． 对应训练 1．（2012?自贡）若x是不等于1的实数，我们把 1称为x的差倒数，如2的差倒数是 1?x1111=-1，-1的差倒数为 = ，现已知x1=- ，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒1?(?1)21?23数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2012= ． 考点二：运算题型中的新概念 例2 （2012?菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成ab，cdx?11?xab概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=8，则x= ． 1?xx?1cd思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值． 解：根据题意化简x?11?x1?xx?1=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8， 整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，
解得：x=2． 故答案为：2
点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练 2．（2012?株洲）若（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）?（6，8）= ． 考点三：探索题型中的新概念
例3 （2012?南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． （1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °； ②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数； （2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
思路分析： （1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧况讨论求解；
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系． 解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90． ②如图，连接AB、OA、OB． 在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=， ∴OA2+OB2=AB2． ∴∠AOB=90°． 当点P在优弧当点P在劣弧
上时，∠AP1B=∠AOB=45°；
上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分
上；点P在劣弧
上两种情
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图① ∵∠MAN=∠APB+∠ANB， ∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB； 第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②． ∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°； 第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°， ∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB， 第四种情况：点P在⊙O2内，如图④， ∠APB=∠MAN+∠ANB．
点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用． 对应训练 3．（2012?陕西） 考点四：开放题型中的新概念 例4 （2012?北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念： 若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|； 若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|． 例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）． （1）已知点A（-1，0），B为y轴上的一个动点， 2①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y=3x+3上的一个动点， 4①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．
思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为（0，y）．因为|- 11-0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|- -0|= 221； 23x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距43离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0= x0+2，据此可以求得点C的坐标； 43②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E434（- ， ）．解答思路同上． 55（2）①设点C的坐标为（x0，解：（1）①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（0，y）． ∵|-11-0|=≠2， 22∴|0-y|=2， 解得，y=2或y=-2； ∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为1； 2 3x+3上的一个动点， 43∴设点C的坐标为（x0，x0+3）， 4（2）①∵C是直线y=
3x0+2， 48此时，x0=-， 7∴-x0=∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：8， 7815，）； 7734②E（-，）． 55334--x0=x0+3-， 5458解得，x0=-， 589则点C的坐标为（-，）， 55此时C（-最小值为1． 点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键． 对应训练 4．（2012?台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=- 74，（-3）⊕5=5⊕（-3）=- ，… 615你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）． 考点五：阅读材料题型中的新概念 例5 （2012?常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点O的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）． 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足m=1，且n=0的点M的集合； ②满足m=n的点M的集合； （2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）
思路分析：（1）①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；
中考数学新概念型问题剖析
