习题5
已知vx?y?2z,vy?z?2x,vz?x?2y,求：
(1)涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dS=上的涡通量。 解：（1）
??y??x??x??z??z??y??(?)i?(?)j?(?)k?y?z?z?x?x?y?(2?1)i?(2?1)j?(2?1)k ?i?j?k所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2
(2) J?wnds?2*0.5*0.0001?0.0001m2/s
?设在（1，0）点上有???0的旋涡，在（-1，0）点上有????0的旋涡，求下列路线的速度环流。
(1)x2?y2?4;(2)(x?1)2?y2?1;(3)x??2,y??2的方框。
（4）x??0.5,y??0.5的方框。解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以???vdl?2?wnds?0
cs??vdl?0
c如题图所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量?等于常值的点涡，求其运动轨迹。
解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。
vCA?vBA?vBA?3?4??4??22??22?vA?vCA?vBAcos45?vBAcos45?
由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：
v3??ar4?
3?v?wt?t4?w?用极坐标表示为r=1, ??3?t 4?同理，其他点的轨迹与之相同。
如题图所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x轴上各点的诱导速度。 解：令（0，a）点为A点，（）为B点 在OA段与OB段
?a(cos90?)224?xa?x?av2?(cos0?)224?xaa?x??vx?2(v1?v2)?(x?a2?x2)2?xav1?习题六
平面不可压缩流动的速度场为 （1）vx?y,vy??x; (2) vx?x?y,vy?x?y; (3) vx?x?y,vy??2xy?y;
判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。 解：
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?存在??V?0?存在?vx?(?vy)??x?y（1）?存在
?vy?x??(vx)??2??x ?y?(?vy)?vx?0......?0??v ?x?yx2?y2????vydx?vxdy?+c
2?(vx)?2????x?y（2）
?(?vy)?(?x?y)?vx?1....???1????x?y?y?（3）
?vy?vy?x??(vx)?0??? ?y
???vxdx?vydy?x3/3+x2/2-xy2-y2/2+c
?(?vy)?vx?2x?1....?2x?1 ??? ?x?y（4）
???-vydx?vxdy??y3/3+x2y+yx+c
证明函数f=xyzt是速度势函数，而且流场不随时间变化。
证：f=xyzt
1)?2??02)?(??)?0?f是速度势函数流线方程dxdydzdxdydz?????yztxztyxtyzxzyx
?流场不随时间变化有一种二维不可压缩无旋流动，已知vx?kxy，k为常数，求vy。 解：
Q无旋???vy?x?vy?x??(vx)?0?y?kx?vy?kx2?cy?vx?(vy)??0 ?x?yQ不可压???vy?y??ky?vy?ky2?cx?vy?k(x2?y2)?c
船舶流体力学习题答案
