12.3几何概型
考情分析
以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主． 基础知识 1．几何概型
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型． 2．几何概型中，事件A的概率计算公式
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 注意事项
1.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2. (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．
(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 题型一 与长度有关的几何概型
【例1】点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________． 解析
如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧MAN上时，对劣弧AB来说，其长2度小于1，故其概率为.
32答案
3
5
【变式1】 一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求61
概率为P＝＝.
1221答案
2
题型二 与面积有关的几何概型
【例2】设有关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解 设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x＋2ax＋b＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包93含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.
124
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，12
3×2－×2
22
b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝＝.
3×23【变式2】如图，
2
2
2
2
2
2
矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )．
1112
A. B. C. D. 4323
5
1
解析 S△ABE＝|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.
2故所求概率P＝答案 C
题型三 与角度、体积有关的几何概型
【例3】?在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．
解 设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”．在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△
S△ABE1
＝. S矩形ABCD2
ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝μA＝90－75＝15，μΩ＝90，
151
所以P(D)＝＝.
906
180°－30°
＝75°， 2
【变式3】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD
A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O14π33
2－××1
23π
的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－. 3
212π
答案 1－
12 重难点突破
【例4】已知关于x的二次函数f(x)＝ax－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
2
x＋y－8≤0，??
(2)设点(a，b)是区域?x＞0，
??y＞0
内的一点，
求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
2b22
[解析] (1)∵函数f(x)＝ax－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax－4bxa2b＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.
a若a＝1，则b＝－1； 若a＝2，则b＝－1或1；
5
(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 12.3几何概型学案
