不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）
一、知识、方法回顾
（一）一元二次不等式
1． 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式．
2．解法：一般地，当a?0时
判别式??b2?4ac 方程ax2?bx?c?0的 根 函数y?ax2?bx?c 的图象 ax2?bx?c?0的解集 ax2?bx?c?0的解集 （二）解分式不等式的常见方法：
法一：符号法则
其它情况类比分析，结论如下：
f(x)f(x)f(x)?0?__________；?0?____________；?0?_________． g(x)g(x)g(x)法二：化分式不等式为整式不等式
分式不等式
f(x)?0，由符号法则可知，f(x)、g(x)同号，从而f(x)?g(x)?0，其它情况g(x)类比分析，结论如下：
f(x)?0?f(x)?g(x)?0； g(x)?f(x)?g(x)?0?__________f(x)f(x)f(x)?0?________；；． ?0???0??g(x)_____________________g(x)g(x)??（三）典型例题
例1、解下列不等式：
（1）2?x2?7x?2?10； （2）x2?|x|?6?0；
2x?31?1； （4）0?x??1 x?7x（3）
练习1.关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(??,?)?(?,??)，其中????0，则不等式cx2?bx?a?0解集为 ．
112.若不等式ax2?bx?2?0的解集为(?,)，则a?b的值为_____________．
233.若不等式x2?2x?k2?1?0对一切实数x恒成立，则实数k的范围为__________．
4.设f(x)?ax2?(a?1)x?1
（1）解关于x的不等式f(x)?0；
（2）若对任意的a?[?1,1]，不等式f(x)?0恒成立，求x的取值范围.
二、含参不等式解法（一元二次不等式）
1.二次项系数为常数
例1解关于x的不等式：x2?(a?2)x?a?0.
2.二次项系数含参数
例2解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0.
例3解关于x的不等式：ax2?ax?1?0.
练习：1.解关于x的不等式
1??（1）(a2?1)x2?3ax?3?0 （2）x2??a??x?1?0；
a??（3）ax2?(2a?1)x?2?0(a?R)； （4）
(a?2)x?4?2（其中a?0）.
x?12. 设f(x)?ax2?(a?1)x?1
（1）解关于x的不等式f(x)?0；
（2）若对任意的a?[?1,1]，不等式f(x)?0恒成立，求x的取值范围.
三、不等式的恒成立问题
例1.已知不等式x2?2ax?1?0对x?[1,2]恒成立，其中a?0，求实数a的取值范围。
小结：不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值：
（1）若不等式A?f?x?在区间D上恒成立,则等价于在区间D上A?f?x?min?f?x?的下界大于A；
（2）若不等式B?f?x?在区间D上恒成立,则等价于在区间D上B?f?x?max?f?x?的上界小于B。
x2?2x?a练习1.已知f?x??对任意x??1,???,f?x??0恒成立，试求实数a的取值范围。
x2、分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为g????f?x?（或g????f?x?）恒成立的形式； （2）求f?x?在x?D上的最大（或最小）值；
（3）解不等式g????f?x?max (或g????f?x?min) ，得?的取值范围。
练习1. 已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。 2. 已知二次函数f(x)?ax2?x，若x??0,1?时，恒有f(x)?1，求a的取值范围。
3、数形结合法
（1）若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象
在函数y?g?x?图象上方；
（2）若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数y?g?x?图象下方。
4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)成立,求实数a的取值范3例3. 设f(x)??x2?4x , g(x)?围.
1练习1. 当x?(0,)时，不等式x2?logax恒成立，求a的取值范围．
24、变换主元法
例 对于满足0?p?4的一切实数，不等式x2?px?4x?p?3恒成立，试求x的取值范围。
练习1. 对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。
a11?x?b，对任意a?[,2]，都有h(x)?10在x?[,1]恒成立，求实数b的x242.设函数h(x)?取值范围。
练习题
1.当x??1,2?时，不等式x2?mx?4?0恒成立，则m的取值范围__________
2.当x?(1,2)时，不等式(x-1)2 ?1?3. 若不等式3x2?logax?0在x??0,?内恒成立，求实数a的取值范围是 ?3?4．设f?x??x2?2ax?2,当x?[-1,+?]时，都有f?x??a恒成立，求a的取值范围。
二次含参问题-经典
