8．（本小题满分10分）
已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意x1,x2?D，且x1?x2，都有f(x1)?f(x2)?2f(则称函数f(x)为“凸函数”．
（Ⅰ）判断函数f1(x)?2x与f2(x)?x是否为“凸函数”，并说明理由； （Ⅱ）若函数f(x)?a?2x?b（a,b为常数）是“凸函数”， 求a的取值范围；
x1?x2)，21（Ⅲ）写出一个定义在(,??)上的“凸函数”f(x)，满足0?f(x)?x．（只需写出结论）
2
6 / 12
数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. D 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9.A 10.A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.3 12.(2,4) （答案不唯一）14.?1 15.(6,3)；(4,2) 16.注：第15题每空2分.
三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：因为??(0,π2)，sin??35，
所以 cos??1?sin2? ?45． 所以 sin(??π24)?2(sin??cos?) ??210． （Ⅱ）解：因为 sin??35，cos??45， 所以 tan??sin?cos? ?34． 所以 cos2?π1?cos?1?tan2?tan(4??)?2??1?tan? 7 / 12
2π3 {?|??6k?1,k?Z} ……………………2分 ……………………3分 ……………………5分 ……………………6分 ……………………8分 ……………………9分 ……………………11分 13.
?
18. （本小题满分12分）
79． ……………………12分 10（Ⅰ）解：由图象可知 A?3． ……………………1分
因为 f(x)的最小正周期为 T???6??6??， 所以 ????T?2． 令 2??6????2， 解得 ???6，适合|?|??． 所以 f(x)?3sin(2x?π6)． （Ⅱ）解：因为x?[?2,?]，所以2x?π6?[??6,???6]． 所以，当2x?π13π6?6，即x?π时，f(x)取得最大值32； 当2x?π3π6?2，即x?2π3时，f(x)取得最小值?3． （Ⅲ）解：f(x)的单调递增区间为[k????3,k??6]（k?Z）． 19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：AC?(cos??1,sin?)，BC?(cos?,sin??3)． 所以 AC?BC?(cos??1)?cos??sin??(sin??3) ?cos??3sin??1
?2cos(??π3)?1． 8 / 12
……………………3分 ……………………5分
……………………6分
……………………8分 ……………………10分 ……………………12分……………………2分 ……………………3分 ……………………4分
?π??? 因为 ??[0,]，所以 ???[,]． ……………………5分
3362 所以 当??ππ?，即??0时，AC?BC取得最大值2． ……………………6分 33（Ⅱ）解：因为|AB|?2，|AC|?(1?cos?)2?sin2??2?2cos?， |BC|?cos2??(sin??3)2?4?23sin?．
? 又 ??[0,]，所以 sin??[0,1]，cos??[0,1]，
2 所以 |AC|≤2，|BC|≤2．
所以 若△ABC为钝角三角形，则角C是钝角，从而CA?CB?0．………………8分
ππ1 由（Ⅰ）得2cos(??)?1?0，解得cos(??)??． ……………………9分
332 所以 ??π???????(,]， 即??(,]． ……………………11分 33632?? 反之，当??(,]时，CA?CB?0，
32 又 A,B,C三点不共线，所以 △ABC为钝角三角形．
?? 综上，当且仅当??(,]时，△ABC为钝角三角形． ……………………12分
32B卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
1.{x|?1?x?3} 2.{x|0?x?1，或x?1} 3.c?b?a
4.5；1000115.[?,??)；[,1]
42
注：第4题、第5题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.
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6.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为D?{x|x??1}. ……………………1分
对于任意x?D，因为 f(?x)??x??f(x)， ……………………3分 2(?x)?1 所以 f(x)是奇函数． ……………………4分 （Ⅱ）解：函数f(x)?x在区间(?1,1)上是减函数． ……………………5分 2x?1证明：在(?1,1)上任取x1，x2，且 x1?x2， ……………………6分 则 f(x1)?f(x2)?x1x2(1?x1x2)(x2?x1)??． ……………………8分 2222x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)22由 ?1?x1?x2?1，得 1?x1x2?0，x2?x1?0，x1?1?0，x2?1?0，
所以 f(x1)?f(x2)?0，即 f(x1)?f(x2). 所以 函数f(x)?x在区间(?1,1)上是减函数. ……………………10分 2x?17.（本小题满分10分）
11（Ⅰ）解：当a??1时， f(x)??x2?x??(x?)2?． ……………………2分
2411 所以 f(x)在区间(0,)上单调递增，在(,2)上f(x)单调递减．
22 因为 f(0)?0，f(2)??2，
所以 f(x)的最小值为?2． ……………………4分 （Ⅱ）解：① 当a?0时，f(x)?x． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增，
所以 f(x)的最大值为f(2)?2． ……………………5分
当?2≤a?0时，函数f(x)?ax2?x图像的对称轴方程是x??1. ………6分 2a ② 当0??1111≤2，即?2≤a≤?时，f(x)的最大值为f(?)??. ………8分 2a42a4a 10 / 12
2019.1西城区高一上学期期末数学(试题及答案)
