第6章 真空中的静电场 习题及答案
1. 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0位于点电荷?q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 故 x?3?22
2. 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q?为负电荷，所以
故 q???3q 3(2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为?2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq??1dl，dq在带电圆环轴线上
x处产生的场强大小为
dE?dq
4??0(x2?R2) R O y ?1 ?2 l 根据电荷分布的对称性知，Ey?Ez?0 式中：?为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
x
dq受下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq??2dx，
到的电场力大小为
方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为 方向沿x轴正方向。
z
4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?。求： （1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
解：（1）在半圆环上取dq??dl??Rd?，它在O点产生场强大小为
dE?dq??d? ，方向沿半径向外 24π?0R4π?0R根据电荷分布的对称性知，Ey?0 故 E?Ex??，方向沿x轴正向。
2π?0R性可
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?qdx，dq在P点产生的场强大小为 LdE?dq?dx?，方向沿x轴负方向。 224??0x4??0x 故 P点场强大小为
方向沿x轴负方向。
q O
x 6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度L d 为?，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dq???dS???2?rdl???2?Rsin?d?， dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式） x r 2 P dE?xdq4??0(x?r)2232 ，方向沿x轴负方向
dl 利用几何关系，x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，得 因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为 方向沿x轴负方向。
O R 7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?，如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。 若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
E1?σ，方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
E2?x?(1?)，方向沿x轴负方向
222?0R?x R O ??P x x 故 P点的场强大小为
方向沿x轴正方向。
8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电
荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
??q解：（1）由高斯定理?E?dS?求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相
s?0等，所以通过各面电通量为
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2a的正方形各面的电通量?e?q 6?0q，如果它包含q所在顶点，则24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e??e?0。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为
?1和
?2，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为
E??1，方向垂直于该平面指向外侧 2?0电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为
E?由场强叠加原理得
?2，方向垂直于该平面指向外侧 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向左 2?0两面之间，E?E1?E2??1面左侧，E?E1?E2??2面右侧，E?E1?E2?1(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?010. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。
??1解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当r?R1时，?qi?0，所以 当R1?r?R2时，?qi??(?r3??R13)，所以
434343当r?R2时，?qi??(?R23??R13)，所以
4311. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R1），若大球面的面电荷密度为
?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
??1解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当r?R2时，E?0，?qi???4?R2????4?R1?0，所以 （2）当r?R1时，?qi?0，所以
当R1?r?R2时，?qi????4?R1??4??R2，所以 负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为?，求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板
2222??1中心的距离均为x，底面圆的面积为?S。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当x?d时（平板内部），?qi???2x??S，所以 2d（平板外部），?qi???d??S，所以 2当x?13. 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。
(1) 当r?R时， (2) 当r?R时，
?qii????r2l，所以 ????R2l，所以
?q14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。
解：取半径为r、dr的细圆环dq??dS???2?rdr，则dq在O点产生的电势为
圆盘中心O点的电势为
15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是??和??。取两环的轴线为x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为 右边带电圆环在P产生的的电势为 同理，左边带电圆环在P产生的电势为 由电势叠加原理知，P的电势为
16. 真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，该区域内a点离球心的
l，如图所示。求x轴上任一点的电势。设无2距离为
12R，b点离球心的距离为R。求a、b两点间的电势差Uab 33解：电场分布具有轴对称性，以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。由高斯定理
??1?E?dS?S?0?qi得
当r?R时，E?4?r?21?0???r3 ，所以
43a、b两点间的电势差为
17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a和3a，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。求：
（1）内圆柱面上单位长度所带的电量?； （2）在离轴线距离r?2a处的电场强度大小。 解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，
应用高斯定理求解。
内、外两圆柱面之间，?qi??l，所以 内、外两圆柱面之间的电势差为 内圆柱面上单位长度所带的电量为
关于大学物理课后习题答案第六章
