2019年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷 解析版

∵AD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， ∴∠D+∠DCA＝90°， ∵∠DCA+∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠ACB，

又∵∠DAC＝∠ABC＝90°， ∴△DCA∽△CAB， ∴

＝

，

设AC＝a，则AB＝a﹣1， ∵⊙O的半径为4， ∴CD＝8， ∴＝

，

，a2＝4﹣2

；

，

解得，a1＝4+2∴AC＝4+2

或4﹣2

（3）由（2）知，则＝

，

＝，

∴AB＝a2， ∴AC﹣AB＝a﹣a2 ＝﹣（a﹣4）2+2，

根据二次函数的性质可知，当a＝4时，AC﹣AB取最大值2，

如图3，当AC＝A'C＝4时，AB＝2，连接OA，OA'，

则△A'CO与△ACO是等边三角形， ∴∠A'CO＝∠ACO＝60°， 在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴A'CB＝150°，

∴α的度数为30°或150°．

【点评】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，用函数思想求最大值等，解题关键是要会灵活运用函数思想求极值．