最小值．
解：(1)f(x)＝2sin x＋6cos x
3?1??π?＝22?sin x＋cos x?＝22sin?x＋?.
3??2?2?π?2?由f(α)＝2，得sin?α＋?＝，
3?2?
πππ3π
即α＋＝2kπ＋或α＋＝2kπ＋，k∈Z.
3434π5π
于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z.
12125π
又α∈[0，π]，故α＝. 12
1
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝22
2π?π???sin?2x＋?的图象，再将y＝22sin?2x＋?图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单3?3???π?π?位长度，得到y＝22sin?2x－2θ＋?的图象．由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋
3?2?(k∈Z)对称，令2x－2θ＋
解得x＝
ππ
＝kπ＋， 32
kπ
π
＋θ＋，k∈Z. 212
π?3πkππ3π?由于y＝22sin?2x－2θ＋?的图象关于直线x＝对称，令＋θ＋＝，
3?42124?解得θ＝－kπ2π
2＋3
，k∈Z.
π
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
6
[综合题组练]
π??1．已知函数f(x)＝2sin?2ωx－?(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)4??在[－1，1]上的单调递增区间为 ( )
?13?A.?－，?
?24??13?C.?－，? ?24?
?13?B.?－，? ?24??13?D.?－，? ?44?
2ππππ
解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，
2ωωω2
21
π??所以f(x)＝2sin?πx－?. 4??πππ
当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，
242
13
即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区
44
?13?间为?－，?.
?44?
π???7π?2．(2020·杭州市七校联考)已知函数y＝4sin?2x＋?，x∈?0，?的图象与直线y6?6???＝m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1 A.C.3π 45π 3 B.D.4π 33π 2 π???7π??π2π?解析：选C.由函数y＝4sin?2x＋??x∈?0，??的图象可得，当x＝和x＝时，6???6??63?函数分别取得最大值和最小值， ππ2π4π 由正弦函数图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x2＋x3＝2×＝. 6333π4π5π 故x1＋2x2＋x3＝＋＝，故选C. 333 3．已知函数f(x)＝sin ωx－3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________． π?π???解析：因为f(x)＝2sin?ωx－?，方程2sin?ωx－?＝－1在(0，π)上有且只有四 3?3???π?1ππ?个实数根，即sin?ωx－?＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx－＝－＋2k3?236?π7ππ2kπ3π2kπ π或ωx－＝＋2kπ，k∈Z.所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.设直线y＝－1 366ωω2ωω与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝ 3π2π ＋，2ωωxB＝ π4π3π＋.因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以xA<π≤xB，即6ωω2ω2ππ4π725＋<π≤＋，计算得出<ω≤. ω6ωω26 ?725?答案：?，? ?26? 22 π?π?4．将函数f(x)＝2sin?2x＋?的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到6?12? g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为________． π?π?解析：函数f(x)＝2sin?2x＋?的图象向左平移个单位， 6?12?π??可得y＝2sin?2x＋?的图象， 3??再向下平移2个单位， π??得到g(x)＝2sin?2x＋?－2的图象， 3??若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]， 则g(x1)＝g(x2)＝－4， ππ 则2x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 325π 即x＝－＋kπ，k∈Z， 12由x1，x2∈[－2π，2π]， 得x1，x2∈?－ 17π5π7π19π? ?， ，－，， 12121212?? ? 19π17π55π55π 当x1＝，x2＝－时，2x1－x2取最大值，故答案为. 1212121255π 答案： 12 5．(2020·温州中学高三模考)已知函数f(x)＝sincos＋3cos. 333(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标； (2)如果△ABC的三边a，b，c满足b＝ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围． 2x?12x12x3?32x33?2xπ?解：(1)f(x)＝sin＋?1＋cos?＝sin＋cos＋＝sin?＋?＋， 3?2232?3232?33?2由sin? 2 xx2 x?2x＋π?＝0即2x＋π＝kπ(k∈Z)得x＝3k－1π，k∈Z， ?332?33? ?3k－1π，0?，k∈Z. ? ?2? 即对称中心为? 2 a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac11 (2)由已知b＝ac，cos B＝＝≥＝，所以≤cos B<1， 2ac2ac2ac22 ππ2Bπ5ππ?ππ??5ππ??2Bπ?0 2?333393?32??9?33? 23 33?2Bπ?3 2?33?2即f(B)的范围是?3，1＋ ??3??. 2? πππ 6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋b(ω>0，－<φ<)相邻两对称轴间的距离为， 222若将f(x)的图象先向左平移 π 个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g(x)为奇函数． 12 (1)求f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心； ?π?2 (2)若关于x的方程3[g(x)]＋m·g(x)＋2＝0在区间?0，?上有两个不相等的实根， 2?? 求实数m的取值范围． Tππ 解：(1)由题意可得＝＝， 2ω2 所以ω＝2， f(x)＝sin(2x＋φ)＋b， ??π??所以g(x)＝sin?2?x＋?＋φ?＋b－1 ??12?? π ＝sin(2x＋＋φ)＋b－1. 6 πππ 再结合函数g(x)为奇函数，可得＋φ＝kπ，k∈Z，且b－1＝0，再根据－<φ<， 622π 可得φ＝－，b＝1， 6 π??所以f(x)＝sin?2x－?＋1，g(x)＝sin 2x. 6??πnππ 令2x－＝nπ，n∈Z，可得x＝＋， 6212所以f(x)的对称中心? ?nπ＋π，1?(n∈Z)． ? ?212? ?π?(2)由(1)可得g(x)＝sin 2x，在区间?0，?上，2x∈[0，π]，令t＝g(x)，则t∈[0， 2?? 1]． ?π?2 由关于x的方程3[g(x)]＋m·g(x)＋2＝0在区间?0，?上有两个不相等的实根， 2?? 可得关于t的方程3t＋m·t＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解． 2 24 Δ＝m－24＝0，??2 令h(t)＝3t＋m·t＋2，因为h(0)＝2>0，则满足h(1)＝3＋m＋2<0，或? m0<－<1，?6? 解得m<－5或m＝－26. 2 25
浙江专用2020年新高考数学一轮复习函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用教学案
