初三数学函数综合题型及解题方法讲解
二次函数综合题型精讲精练
题型一：二次函数中的最值问题
例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB=
=
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=4，
因此OM+AM最小值为．
方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。
A B B’
例2：已知抛物线C的函数解析式为y?ax12A
B M
或者
M
A’ ，若抛物
12?bx?3a(b?0)12线C经过点(0,?3)，方程ax112?bx?3a?0的两根为x，x，且x?x?4。
（1）求抛物线C的顶点坐标.
（2）已知实数x?0，请证明：x?1≥2,并说明x为何值时才x?2.会有x?1x第 3 页 共 26 页
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C，设A(m,y)，B(n,y)是C上的两个不同
2122点，且满足：?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有m的表达式
0表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３ ∴a＝１ ∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且x-x＝
12４
∴x2?x?(x?x)?4x1x21212＝４且b＜０
∴b＝－２ ∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） （2）∵x＞０，∴x?1?2?(xx?12)?0x1?2,显然当x＝１时，才有x??2, ∴x?1xx（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：
y＝x2
∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）∵ΔAOB为RtΔ
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∴OA２+OB２=AB２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋
（m２－n２）２
化简得：m n＝－１
1OA?OB=∵ＳΔAOB=122m2?m4?n2?n4∵m n＝－１∴ＳΔAOB＝12＝12(１,１)
方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=
bcx1?x2??;x1x2?.aa11②m?m?2,(m?o);当m?1时，m??2，取得最小值。m(x1?x2)2?4x1x22?m2?n2?112?m2?22m(m?121?1?1)??m????2?1m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x
?b?b2?4ac?b?b2?4ac根据一元二次方程的求根公式x1?;x2?;可得到：2a2a例3：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．
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