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初三数学函数综合题型及解题方法讲解

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初三数学函数综合题型及解题方法讲解

二次函数综合题型精讲精练

题型一:二次函数中的最值问题

例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.

解析:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得

解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0所以解析式为y=﹣x2+x.

(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得

抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB=

=

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=4,

因此OM+AM最小值为.

方法提炼:已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’,将点B与A’连接起来交直线与点M,那么A’B就是AM+BM的最小值。同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’,将点A与B’连接起来交直线与点M,那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是:两点之间线段最短。

A B B’

例2:已知抛物线C的函数解析式为y?ax12A

B M

或者

M

A’ ,若抛物

12?bx?3a(b?0)12线C经过点(0,?3),方程ax112?bx?3a?0的两根为x,x,且x?x?4。

(1)求抛物线C的顶点坐标.

(2)已知实数x?0,请证明:x?1≥2,并说明x为何值时才x?2.会有x?1x第 3 页 共 26 页

(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C,设A(m,y),B(n,y)是C上的两个不同

2122点,且满足:?AOB?90,m?0,n?0.请你用含有m的表达式

0表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。

解析:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3     ∴a=1      ∴y=x2+bx-3

     ∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且x-x=

124

∴x2?x?(x?x)?4x1x21212=4且b<0

∴b=-2 ∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4

∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4) (2)∵x>0,∴x?1?2?(xx?12)?0x1?2,显然当x=1时,才有x??2, ∴x?1xx(3)方法一:由平移知识易得C2的解析式为:

y=x2

∴A(m,m2),B(n,n2)∵ΔAOB为RtΔ

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∴OA2+OB2=AB2

∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+

(m2-n2)2

化简得:m n=-1

1OA?OB=∵SΔAOB=122m2?m4?n2?n4∵m n=-1∴SΔAOB=12=12(1,1)   

方法提炼:①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=

bcx1?x2??;x1x2?.aa11②m?m?2,(m?o);当m?1时,m??2,取得最小值。m(x1?x2)2?4x1x22?m2?n2?112?m2?22m(m?121?1?1)??m????2?1m2?m?2∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A∴直线OA的一次函数解析式为y=x     

?b?b2?4ac?b?b2?4ac根据一元二次方程的求根公式x1?;x2?;可得到:2a2a例3:如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.

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初三数学函数综合题型及解题方法讲解

初三数学函数综合题型及解题方法讲解二次函数综合题型精讲精练题型一:二次函数中的最值问题例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.解析:(1)把A(﹣2
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