高中数学
第1炼 命题形式变化及真假判定
一、基础知识： （一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：设原命题为“若p，则q”的形式，则 （1）否命题：“若?p，则?q” （2）逆命题：“若q，则p” （3）逆否命题：“若?q，则?p” 2、p?q，p?q
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p?q （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p?q 3、命题的否定?p：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法
（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有
至多n个→至少n?1个 小于→大于等于
（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时p,q均变为?p,?q：
p或q→?p且?q p且q→?p或?q
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：p:?x?M,p?x???p:?x?M,?p(x) 存在性命题：p:?x?M,p?x???p:?x?M,?p(x) 规律为：两变一不变
① 两变：量词对应发生变化（???），条件p?x?要进行否定??p?x? ② 一不变：x所属的原集合M的不变化
（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、p?q，p?q，如下列真值表所示：
1
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p 真 真 假 假
3、?p：与命题p真假相反。 4、全称命题：
q 真 假 真 假 p或q 真 真 真 假 一真则真 p且q 真 假 假 假 一假则假 真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：
真：只需在M举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题
例1：命题“若方程ax2?bx?c?0的两根均大于0，则ac?0”的逆否命题是（ ） A. “若ac?0，则方程ax2?bx?c?0的两根均大于0” B. “若方程ax2?bx?c?0的两根均不大于0，则ac?0” C. “若ac?0，则方程ax2?bx?c?0的两根均不大于0” D. “若ac?0，则方程ax2?bx?c?0的两根不全大于0”
思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“ac?0”的对立面是“ac?0”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确 答案：D
例2：命题“存在x?Z,x?2x?m?0”的否定是（ ）
A． 存在x?Z,x?2x?m?0 B．不存在x?Z,x?2x?m?0 C． 对任意x?Z,x?2x?m?0 D．对任意x?Z,x?2x?m?0
22思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化x?2x?m?0?x?2x?m?0，但
222222
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2x所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意x?Z,x?2x?m?0”
答案：D
例3：给出下列三个结论
（1）若命题p为假命题，命题?q为假命题，则命题“p?q”为假命题
（2）命题“若xy?0，则x?0或y?0”的否命题为“若xy?0，则x?0或y?0”
x（3）命题“?x?R,2?0”的否定是“?x?R,2?0”，则以上结论正确的个数为（ ）
xA. 3 B. 2 C. 1 D. 0
思路：（1）中要判断p?q的真假，则需要判断p,q各自的真值情况，?q为假命题，则q为真命题，所以（1）错误 p,q一假一真，p?q为真命题，
（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“x?0或y?0”的否定应该为“x?0且y?0”，所以（2）错误
（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确 综上只有（3）是正确的 答案：C
例4 ：有下列四个命题
① “若x?y?0，则x,y互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题
③ “若q?1，则x?2x?q?0有实根”的逆否命题 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ）
A. ①② B.②③ C. ①③ D. ③④
思路：①中的逆命题为“若x,y互为相反数，则x?y?0”，为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。q?1时，判别式??4?4q?0，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确 答案：C
小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否
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命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例5：下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“?x?R，使得x2?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?1?0” B. 命题“若x?3，则x2?2x?3?0”的否命题是“若x?3，则x2?2x?3?0” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题 D. 命题“若cosx?cosy，则x?y”的逆否命题是真命题
思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“?x?R，均有x2?1?0”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误 答案：B
例6：如果命题“p且q”是假命题，“?q”也是假命题，则（ ） A. 命题“?p或q”是假命题 B. 命题“p或q”是假命题 C. 命题“?p且q”是真命题 D. 命题“p且?q”是真命题
思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以?q为入手点，可得q是真命题，而因为p且q是假命题，所以p只能是假命题。进而?p是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的 答案：C
例7：已知命题p：若x?y，则?x??y；命题q：若x?y，则x?y，在命题①p?q；②p?q；③p???q?；④ ??p??q中，真命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
思路：可先判断出p,q的真假，从而确定出复合命题的情况。命题p符合不等式性质，正确，而q命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为?p为假，?q为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项C正确 答案：C
例8：下列4个命题中，其中的真命题是（ ）
22?1??1? p1:?x??0,???,????? p2:?x??0,1?,log1x?log1x
?2??3?23xx4
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?1??1??1?p3:?x??0,???,???log1x p4:?x??0,?,???log1x
?2??3??2?23A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4
xx?1??1?思路：p1,p2为存在性命题，所以只要找到符合条件的x即可。p1可作出y???,y???的图像，通
?2??3?过观察发现找不到符合条件的x；p2同样作图可得?x??0,1?,log1x?log1x，所以p2正确；p3通过作
23xx?1??1?图可发现图像中有一部分???log1x，所以p3错误；在p4中，可得当x??0,?时，
?3??2?2?1??1??1??1???1,logx?log?1，所以11?????????1?log1x，p4正确。综上可得：p2,p4正确 ?2??2??2?33?3?3答案：D
小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定
（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中p1,p2,p3运用的数形结合，而p4通过选择中间量判断。
2例9：已知命题p:?x0?R,mx0?1?0，命题q:?x?R,x?mx?1?0，若p?q为假命题，则实数mxx0x2的取值范围是（ ）
A. ?2?m?2 B. m??2或m?2 C. m??2 D. m?2
思路：因为p?q为假命题，所以可得p,q均为假命题。则?p,?q为真命题。
?p:?x?R,mx2?1?0;?q:?x?R,x2?mx?1?0。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。
解：
p?q为假命题
?p:?x?R,mx2?1?0;?q:?x?R,x2?mx?1?0
?p,q均为假命题
??p,?q为真命题
对于?p:?x?R,mx?1?0
2mx2?1?0?m??当x?R时，?1 2x1?0 ?m?0 x2222对于?q:?x?R,x?mx?1?0，设f?x??x?mx?1，由图像可知：若?q成立，则??m?4?0 ，
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