2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M??x|?1?x?3?,B??x|?2?x?1?，则M?B?（） A.(?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3) （2）若tan??0，则
A. sin??0 B. cos??0 C. sin2??0 D. cos2??0 （3）设z?1?i，则|z|? 1?iA.
123 B. C. D. 2 222x2y2?1(a?0)的离心率为2，则a? （4）已知双曲线2?a3A. 2 B.
65 C. D. 1 22（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，学科网则下列结论中正确的是
A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数
（6）设D,E,F分别为?ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB?FC? A. AD B.
11AD C. BC D. BC 22（7）在函数①y?cos|2x|，②y?|cosx|，③y?cos(2x?最小正周期为?的所有函数为
A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
?6),④y?tan(2x??4)中，
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，学科网则输出的M?( ) A.
2071615 B. C. D. 3258210.已知抛物线C：y?x的焦点为F,A?x,y?是C上一点，zxxkAF?5，则x4x000
0 ?（）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （11）设x，y满足约束条件??x?y?a,且z?x?ay的最小值为7，学科网则a?
x?y??1,?
（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3
（12）已知函数f(x)?ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值
32 范围是
（A）?2,???（B）?1,???（C）???,?2?（D）???,?1?
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、zxxkC三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
?ex?1,x?1,?（15）设函数f?x???1则使得f?x??2成立的x的取值范围是________.
3??x,x?1,（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点
的仰角?MAN?60?，C点的仰角?CAB?45?以及?MAC?75?；从C点测学科网得?MCA?60?.已知山高BC?100m，则山高MN?________m.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
2已知?an?是递增的等差数列，a2，a4是方程x?5x?6?0的根。
（I）求?an?的通项公式； （II）求数列??an?的前n项和. n??2?（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组 频数 [75，85) 6 [85，95) 26 [95，105) 38 [105，115) 22 [115，125) 8 （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19(本题满分12分)
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1Czxxk的中点为O，且
AO?平面BB1C1C.
（1）证明：B1C?AB;
（2）若AC?AB1,?CBB1?60?,BC?1,求三棱柱ABC?A1B1C1的高.
20.（本小题满分12分）
已知点P(2,2)，圆C:x2?y2?8y?0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. （1）求M的轨迹方程；
（2）当OP?OM时，求l的方程及?POM的面积
21（12分）
设函数f?x??alnx?斜率为0 （1）求b;
（2）若存在x0?1,使得f?x0??1?a2x?bx?a?1?，zxxk曲线y?f?x?在点?1，f?1??处的切线2a，求a的取值范围。 a?1请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD是?O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且
CB?CE.
（I）证明：?D??E；
（II）设AD不是?O的直径，AD的中点为M，zxxk且MB?MC，学科网证明：
?ABC为等边三角形.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2?tx2y2??1，直线l:?已知曲线C:（t为参数） 49?y?2?2t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，学科网求PA的最大值与最小值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a?0,b?0,且
11??ab ab（I）求a3?b3的最小值；
（II）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.
文科数学试题答案
一、选择题
（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A 二、填空题
2（13）3（14）A （15）(??,8]（16）150
三、解答题 （17）解：
（I）方程x2?5x?6?0的两根为2,3，由题意得a2?2,a4?3. 设数列?an?的公差为d，则a4?a2?2d,故d?所以?an?的通项公式为an?（II）设?13,从而a1?, 221n?1??6分 2ann?2?an??n?1,则 的前n项和为由（I）知s,nnn?222??sn?34n?1n?2??...??n?1, 22232n2134n?1n?2sn?3?4?...?n?1?n?2. 22222两式相减得
1311n?2sn??(3?...?n?1)?n?2 24222311n?2??(1?n?1)?n?2. 4422n?4所以sn?2?n?1.??12分
2（18）解： （I）
（II）质量指标值的样本平均数为
x?80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08
=100.
质量指标值的样本方差为
2s2?(?20)2?0.06?（-10）?0.26+0.38+102?0.22?202?0.08
=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. ??10分
（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. ??12分
（19）解： （I）
连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1. 又AO?平面BB1C1C，所以B1C?AO，故B1C?平面
ABO.
由于AB?平面ABO，故B1C?AB.??6分
（II） 作OD?BC，垂足为D，连接AD.作OH?AD，垂足
BC?OD，为H. 由于BC?AO，故BC?平面AOD，
所以OH?BC.又OH?AD，所以OH?平面ABC. 因为?CBB1?60?，所以?CBB1为等边三角形，又BC=1，
可得OD?113.由于AC?AB1，所以OA?B1C?.
224由OH?AD?OD?OA，且AD?OD2?OA2?217，得OH?.
144ABC
的距离为
又O为B1C的中点，所以点B1到平面
21故三棱柱7ABC?A1B1C1的距离为
（20）解：
21. 7（I）圆C的方程可化为x2?(y?4)2?16，所以圆心为C(0,4)，半径为4，
?????????设M(x,y)，则CM?(x,y?4)，MP?(2?x,2?y)，
?????????由题设知CM?MP?0，故x(2?x)?(y?4)(2?y)?0，即(x?1)2?(y?3)2?2.
由于点
P
在圆
C
的内部，所以
M
的轨迹方程是
(x?1)2?(y?3)2?2. ??6分
（II）由（1）可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆.
由于|OP|?|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON?PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为?118，故l的方程为y??x?. 33316410410，，所以?POM的面积为. |PM|?555又|OP|?|OM|?22，O到l的距离为??12分 （21）解：
'（I）f(x)?a?(1?a)x?b， x由题设知f(1)?0，解得b?1. ??4分 （II）f(x)的定义域为(0,??)，由（1）知，f(x)?alnx?'1?a2x?x， 2f'(x)?a1?aa?(1?a)x?1?(x?)(x?1) xx1?a
1a?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，f(x)在(1,??)单调递增，，则
21?aaa1?aa?1?所以，存在x0?1，使得f(x0)?的充要条件为f(1)?，即，
a?1a?12a?1（ⅰ）若a?解得?2?1?a?2?1.
1aa?a?1，则?1，故当x?(1,)时，f'(x)?0； 21?a1?aaaa,??)时，f'(x)?0，f(x)在(1,)单调递减，在(,??)单调递增. 当x?(1?a1?a1?aaaa)?所以，存在x0?1，使得f(x0)?的充要条件为f(，
a?11?aa?1（ii）若
aaa2aa而f(，所以不合题意. )?aln???1?a1?a2(1?a)a?1a?1（iii）若a?1，则f(1)?1?a?a?1a?1??. 22a?1综上，a的取值范围是(?2?1,2?1)?(1,??).??12分
（22）解：
（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以?D??CBE， 由已知得?CBE??E，故?D??E.??5分
（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN?BC，故O在直线MN上.
又AD不是?O的直径，M为AD的中点，故OM?AD，即MN?AD. 所以AD?BC，故?A??CBA.
又?CBE??E，故?A??E.由（I）知，?D??E，所以?ADE为等边三角形??10分
（23）解： （I）
?x?2cos?，曲线C的参数方程为?（?为参数）
?y?3sin?，直线l的普通方程为2x?y?6?0.??5分
（II） 曲线C上任意一点p(2cos?,3sin?)到l的距离为
d?54cos??3sin??6. 5
则PA?4d25?5sin(??a)?6，其中a为锐角，且tan??.
3sin30?5当sin(???)??1时，PA取得最大值，最大值为225. 5当sin(???)?1时，PA取得最小值，最小值为（24）解： （I）由ab?25??10分 5112，得ab?2，且当a?b?2时等号成立. ??abab故a3?b3?2a3b3?42，且当a?b?2时等号成立.
所以a3?b3的最小值为42. ??5分
（II）由（I）知，2a?3b?26ab?43.
由于43?6，从而不存在a,b，使得2a?3b?6. ??10分
2014年高考文数全国1卷试题及答案 - 图文
