第2课时 计数原理的综合应用
[A 基础达标]
1.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 C．6种
B．5种 D．12种
解析：选C．若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
2.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( ) A．24种 C．4种
3
B．4种 D．3种
4
解析：选C．第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有4种方法.
3.在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( ) A．512个 C．240个
B．192个 D．108个
3
解析：选D．能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60个；另一类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48个．由分类加法计数原理得所求的四位数共有60＋48＝108(个).
4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为( )
A．64 C．53
B．56 D．51
解析：选C．由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7＝56(个)对数式，其中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为1＋56－4＝53.故选C．
5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A．4 320种 C．1 440种
B．2 880种 D．720种
解析：选A．第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320 (种)不同的涂色方法.
6.甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种推选方法.
解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法.
答案：31
7.从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有________个. 解：第一类：一位数中除8外符合要求的有8个；
第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有8×9个符合要求；
第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字是2的只有200符合.
所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个). 答案：162
8.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.
(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
解：(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个，
所以甲有6种不同的获奖情况.
(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64(种)．
9.把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序
排列成一个数列.
(1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第96项是多少？
解：将由1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类，共五类，每类组成的数字数为4×3×2×1＝24个.
(1)万位数字为4，且比43 251小的数的个数有3×2×1＋3×2×1＋2＋1＝15个，所以43 251是这个数列的第3×24＋15＋1＝88项.
(2)因为96＝4×24，所以这个数列的第96项是45 321.
[B 能力提升]
10.(2024·平顶山高二检测)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 C．24种
B．18种 D．36种
解析：选A．先排第一列，因为每列的字母互不相同，所以共有3×2＝6种不同的排法. 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.
x2y2
11.从集合{1，2，3，…，11}中任选2个元素作为椭圆方程2＋2＝1中的m和n，则落
mn在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}内的椭圆个数为________.
解析：根据题意，知当m＝1时，n可等于2，3，…，8，共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可以等于1，3，4，…，8，共对应7个不同的椭圆．同理可得，当m＝3，4，5，6，7，8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m＝9时，n可以等于1，2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m＝10时，共对应8个不同的椭圆．综上所述，对应的椭圆共有7×8＋8×2＝72(个).
答案：72
12.用1，2，3，4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项； (2)若an＝341，求项数n.
解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133； (2)比an＝341小的数有两类： ①首位是1或2： ②首位是3：
3 1 × 1 × × ， 2 × ×
19_20学年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时计数原理的综合应
