(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上； (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； (D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上
三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)
1、已知z?xy2?x?0?，求?z2?x，?z?x?y。
解:?z2y2?1 ?x?yx
?2z?x?y?2yxy2?1
?2y3xy2?1lnx
2、求二重积分
??12dxdy，
Dx2?y其中积分区域D是x2??y?1?2?1。 解:
??12dxdy?Dx2?y??d?d??
D? ??d?0?2sin?d????4
0??2sin?d03、求微分方程y''?2y??y?e?x的通解
解: 与所给方程对应的齐次方程为: y''?2y??y?0 它的特征方程为：r2?2r?1?0 特征根为：r1?r2??1.
于是与所给方程对应的齐次方程的通解为：
Y??C1?C2x?e?x
6
由于???1是特征方程的二重根，
可设特解为：
y*?ax2e?x 把它代入方程，得:a?12
所以原方程的特解为： y*?12?2xex
从而，所求方程的通解为：
y?Y?y???C?x1?C2x?e?122xe?x (共2小题，每小题8分，共16分)、计算曲线积分:
??sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy，
L其中有向曲线L是从点A?2,0?
沿上半圆周?x?1?2?y2?1到点O?0,0?。
解: 添加路径OAuuur，使得L?OAuuur成为闭路， 设闭路所围的区域为D，
设P?sinxcosy?3y, Q?cosxsiny?4x
?Q?P?x??y?1
由格林公式，有:
??uuur?sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy? L?OA??????Q??P??D??x?y??dxdy???dxdy?
D27
四、计算题 1
又：u??sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy? uurOA ??0sinxdx??cos2?1 原式?L?OA2?sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy? ??uuurOA ?u??sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy? uur ??2???cos2?1????2?cos2?1
2、求幂级数?n?0n?1nx的收敛半径、收敛域以及和函数。 n2n?1n?2解: Qan?n, an?1?n?1
222?n?1?an?lim ?收敛半径R?lim?2
n??an??n?2n?1 当x?2时, ??n?1?发散;
n?1?当x??2时, ???1?n?1?n?n?1?发散.
故收敛域为??2,2?
n?1n令S(x)??nx.
n?02??xS(x)dx?0?n?0?xn?1x2x?? nx2?x21?2?故 S(x)???
?x0??4S?x?dx?? ??2,2? 2??2?x?8
五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求曲面2z?xy?3?ez在点 ?1,2,0?处
的切平面方程和法线方程。
解: 令F?x,y,z??2z?xy?ez?3 在点?1,2,0?处
Fx?y?2, Fy?x?1, Fz?2?ez?3 切平面方程: 2?x?1???y?2??3z?0 法线方程: x?12?y?21?z3 2、求函数z?x2?y2?12x?16y
在区域x2?y2?25上的最大值和最小值。 解:由??zx?12x?12?0?x?zy?2y?16?0 得：??6?y??8
因为：62???8?2?100?25
所以最大值和最小值在区域边界达到。
令L?x,y,???x2?y2?12x?16y???x2?y2?25?
?Lx?2x?12?2?x?0?x6由??2y?16?2?y?0 得：??L?????1y ??L22?25?0?y??8??x?y????1代入第三个式子:
100???1?2?25
所以: ???3或??1
9
对应点为??x??3?x?3y?4，???y??4
最大值为：z?25?36?64?125 最小值为：z?25?36?64??75
六、计算题(8分)
用高斯公式计算曲面积分ò??xy2dydz?x2ydzdx?zdxdy?其中?为曲面z2?x2?y2和z?1，z?2 所围立体的外侧曲面。
解: 方法（1）:
ò??xy2dydz?x2ydzdx?zdxdy? ????????P??Q??R?dxdydz?22???x?y?z??????x?y?1?dxdydz? ??????x2?y2?1?dxdydz????x2?y2?1?dxdydz?
?1??2??2?120d??0?d??1??2?1?dz?
??2?20d??1?d??2??2??1?dz?
?2??1?3?20???d??2??1??3????2???d??
?2???1?4?1?2???2???14212513?163?2????5??3????30?
1方法（2）:
ò??xy2dydz?x2ydzdx?zdxdy? ? 10
2015级高等数学(下)考卷及答案
