南昌大学 2015～2016学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数z?log2?x2?y2?的定义域是_________.
?3z? _________. 2. 设z?xln?xy?，则2?x?y3. 球面x2?y2?z2?1在?1,2,2?处的切平面方程为______. 4. 级数
?n?1?1的和为________.
n?n?1?5. 微分方程y''?4y?0的通解为_______. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 曲面z?f?x,y?上对应于点?x0,y0,z0?处与z轴正向成
r锐角的法向量n可取为（ ）。
??(B) ?f??x,y?,f??x,y?,1?； (C) ?f??x,y?,f??x,y?,?1?； (D) ??f??x,y?,?f??x,y?,1?
(A) 1,fx??x0,y0?,fy??x0,y0?；
x00y00x00y00x00y002. 幂级数
?n?0?an?x?1?在x?3条件收敛，
?n则幂级数
?n?0。 anxn的收敛半径是（ ）
1
(A) 2 ； (B) 3； (C) 4； (D) 5
?x?yx3. 已知函数y?是微分方程y'?????的解，
xlnx?y??x?则???的表达式为（ ）。
?y?x2x2y2y2 (A) ?2 ； (B) 2； (C) ?2； (D) 2
yyxx4. 设∑是取外侧的曲面x2?y2?z2?1，
则曲面积分ò。 ??xdydz?ydzdx?zdxdy?（ ）
?(A) ?； (B) 2?； (C) 3?； (D) 4?
5. 设u?x,y?在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，
?2u?2u?2u且满足?0以及2?2?0，
?x?y?x?y则下列结论正确的是（ ）。
(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部； (B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上； (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； (D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上
三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)
2?z?zy1、已知z?x?x?0?，求，。
?x?x?y2 2
2、求二重积分
??D1x2?y22dxdy，
2其中积分区域D是x??y?1??1。
3、求微分方程y''?2y??y?e?x的通解；
四、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、计算曲线积分:
??sinxcosy?3y?dx??cosxsiny?4x?dy，
L其中有向曲线L是从点A?2,0?
沿上半圆周?x?1??y2?1到点O?0,0?。
22、求幂级数??n?0n?1nx的收敛半径、收敛域以及和函数。 n2 五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求曲面2z?xy?3?ez在点 ?1,2,0?处
的切平面方程和法线方程。
2、求函数z?x2?y2?12x?16y
在区域x2?y2?25上的最大值和最小值。
六、计算题(8分)
22xydydz?xydzdx?zdxdy 用高斯公式计算曲面积分ò???其中?为曲面z2?x2?y2和z?1，z?2 所围立体的外侧曲面。
七、证明题(6分)
3
设f?x?在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数， 且limx?0f?x?x?0，证明级数?fn?1?1?n?绝对收敛。
南昌大学 2015～2016学年第二学期期末考试试卷及答案
一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数z?log2?x2?y2?的定义域是
??x,y?x2?y2?1?
1?3z??2. 2. 设z?xln?xy?，则2?x?yy3. 球面x2?y2?z2?1在?1,2,2?处的切平面方程为
x?2y?2z?9.
?4. 级数
?n?11的和为1.
n?n?1? 5. 微分方程y''?4y?0的通解为C1e?2x?C2e2x. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 曲面z?f?x,y?上对应于点?x0,y0,z0?处与z轴正向成
r锐角的法向量n可取为（ D ）。
??(B) ?f??x,y?,f??x,y?,1?； (C) ?f??x,y?,f??x,y?,?1?；
(A) 1,fx??x0,y0?,fy??x0,y0?；
x00y00x00y00
4
(D) ?fx??x0,y0?,?fy??x0,y0?,1
??2. 幂级数
?a?x?1?nn?0?n在x?3条件收敛，
则幂级数
?n?0?。 anxn的收敛半径是（ C ）
(A) 2 ； (B) 3； (C) 4； (D) 5
?x?yx3. 已知函数y?是微分方程y'?????的解，
xlnx?y??x?则???的表达式为（ A ）。
?y?x2x2y2y2 (A) ?2 ； (B) 2； (C) ?2； (D) 2
yyxx4. 设∑是取外侧的曲面x2?y2?z2?1，
则曲面积分ò。 ??xdydz?ydzdx?zdxdy?（ D ）
?(A) ?； (B) 2?； (C) 3?； (D) 4?
5. 设u?x,y?在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，
?2u?2u?2u且满足?0以及2?2?0，
?x?y?x?y则下列结论正确的是（ B ）。
(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部；
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2015级高等数学(下)考卷及答案
