第三章：连续时间线性定常系统时域分析
§3.1 系统的数学模型
LTI系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。
R、L、C上的电压与电流关系——e?t?~i?t?关系模型 ?
或
电阻：
i?t??1e?t? R（3-1）
e?t??Ri?t?
（3-2）
图3-1 电阻
图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压
? 电感：
或：
i?t??1t1e?d??e?t? ?????LLp（3-3）
e?t??Ldi?t??Lpi?t? dt（3-4）
图3-4 电感上的直流不产生电压
1 / 18
图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流
?
或：
e?t??1t1i?d??i?t? ??C???Cp电容：
i?t??Cde?t??Cpe?t? dt（3-5）
（3-6）
图3-7 电容上的恒压不产生电流
1e(t)i(t)e(t)i(t)
CpCp
1 Cpe(t)i(t)Cpi(t)e(t)
图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压
? 求和（相加）：
y?t??f1?t??f2?t?
（3-7）
图3-10 信号汇聚流图
?
分支：
f1?t??f2?t??f3?t?
（3-8）
2 / 18
图3-11 信号分支流图
须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。
LTI连续时间系统的状态空间模型： 例1：如图3-12电路
求：（1）y?t?:v?t?，（2）x1?t?、x2?t?:v?t? 解：列回路电流、电压方程：
v?t??4i1?t??2i2?t???x1?t??i2?t???1&x?2?t??i2?t??i3?t?2 ??x&1?t??x2?t??2?i2?t??i1?t???0?x2?t??3i3?t??0??y?t??2i3?t??消去i1、i2、i3，得下列方程：
??x??1?1??x?t???1?&t???11???????2?v?t?LL状态方程???2??x??2????x2?t????0?2?t????&3???? ??2??x1?t???y?t???0???0?v?t? LLLL观测方程??3xt?????2?????
图3-12 例1电路图
?
定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 物理上，状态的维数dim?(t) = 系统中独立储能元件的个数 状态的选取可以不唯一 状态空间模型：
3 / 18
? ?
?
&?t??An?nX?t??Bn?r?t?V?t? （状态方程） （3-9） XY?t??Cm?nX?t??Dm?r?t?V?t? （观测方程/输出方程） （3-10）
其中，?(t) = ?v1(t)，v2(t)，……，vr(t)??L2r?t0，t??，为输入向量（r维）
?(t) = ?x1(t)，x2(t)，……，xn(t)??L2n?t0，t??，为状态向量（n维） ?(t) = ?y1(t)，y2(t)，……，ym(t)??L2m?t0，t??，为输出向量（m维）
TTT&(t) =?x?(t)，x?(t)，……，x?(t)?T X12n
图3-13 系统的状态空间模型
?
方程的解为：
t ?(t) = eAt ?(0) +
?0eA(t-?)B ?(τ) dτ （3-11）
t0?(t) = CeAt ?(0) +
?[CeA(t-?)B + D?(t??)]?(τ) dτ （3-12）
若?(t)、?(0)已知，则?(t)、?(t)确定。 注：（3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应； （3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。 LTI系统的微分方程模型：
具有n个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：
y?n??t??an?1y?n?1??t??...?a1y?1??t??a0y?0??t??bmv?m??t??bm?1v?m?1??t??...?b1v?1??t??b0v?0??t?
已知输入?(t)、输出初值y?0?、……、y?n?1??0?，求y (t) = ？ 求解步骤：
（1）求齐次解：由微分方程列特征方程?n?an?1?n?1?L?a1??a0?0，求出n个特
?it征根?i，i?1,L,n，则齐次解为yh?t???i?1Ae，有n个待定系数Ai，i?1,L,n；对于ink重根?1，其所对应的齐次解为y1?t?????1tk?iAte，有 k项。 ii?1k?（2）求特解，根据输入信号形式确定；其中待定系数可将特解带入原微分方程通过同类函数对应系数相等来求得。
4 / 18
激励e(t) E（常数） tp eat cos??t? sin??t? tpeatcos??t? tesin??t? pat响应r(t) 的特解形式 B B1tp?B2tp?1?...?Bpt?Bp?1 Beat B1cos??t??B2sin??t? ?Bt?Bt?...?Bt?B?ecos??t? ??Dt?Dt?...?Dt?D?esin??t?pp?1at12pp?1pp?1at12pp?1注：① 表中B、D为待定系数；
② 若e(t)由多种信号线性叠加而成，则特解也为相应的叠加；
③ 当表中的特解与齐次解相同时，则?Bt例如，1?B2?乘以表中特解作为特解。
atae?t??eat，而特征根也是a，即齐次解为eat，则特解为?Bt1?B2?e；若是k重根，则
特解为?B1tk?B2tk?1?L?Bk?eat。
（3）全解=齐次解+特解，代入n个边界条件，求出第（1）步里的n个待定系数
Ai，i?1,L,n。这里所谓的边界条件视具体问题而定，见下节“初始条件”的讨论。
LTI系统的系统算子模型： ?
ddnn令：p?，...，p?n，则微分方程模型化为算子模型：
dtdtnn?1m??p?an?1p?...?a1p?a0??y?t????bmp?...?b1p?b0??v?t?
令：D?p?@pn?an?1pn?1?...?a1p?a0
N?p?@bmpm?...?b1p?b0 有：
有： y?t??N?p?v?t?@H?p?v?t? D?p?（3-13）
其中，H?p???
注意三点：
N?p? 称为系统算子，它对信号的作用不是相乘的关系。 D?p??
N?p?与D?p?的公因式一般不可相消
例如：由px=py，不能把两变的p消掉而得x=y，因为x=y+c。
5 / 18
第三章-连续时间线性定常系统时域分析-修订版-646302069
