高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
125125125125
????A.12 B.9 C.6 D.3
解 设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知
ADCBO图4OA?OB?OC?OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的
距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径
R?OA?52.故
4125V球??R3??36.选C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
例2、已知三棱锥的四个顶点都在球
且,求球解：
，
因为所以在在
取斜边的中点在在
中中，的体积。 且
, 所以知 所以可得图形为： 中斜边为中斜边为，
，即为该四面体的外接球的球心
，
，
，
的球面上，
，
所以在几何体中
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所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
习题练习
1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．2.
33333 B． C． D． 43412直三棱柱
ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。
3．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱 柱的体积为 ．
4.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
22212? B．? C．? D．? 33335.已知正方体外接球的体积是
32?，那么正方体的棱长等于（ ） 3A.22 B.
234243 C. D. 3336.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 7.一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3，则这个球的体积为 ．
8. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
9.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.
P 10.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
9，8P?ABCDEF，则此正六棱
锥的侧面积是________．
C B A - 7 -
D E F
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11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .
12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．3?
B．2? C．
16? 3D．以上都不对
23
13.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
3
A．? B．2π C．4π 83D．?
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1、答案 B
2、解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?故此球的表面积为4?R?20?.
25，3、答案 8
3a2?234、答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?4知，a?1，则此球的直径为2，故选A。 5、答案 D 6、答案 C 7.答案
4?8. 答案 14π 9.答案 2?42 3
10.答案 67 11.答案 2 12. 答案C 13.答案C
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