高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学内切球和外接球问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题 例1、 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27?.

例2、 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.

解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.故该球的体积为43?.

2、求长方体的外接球的有关问题

例1、 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14?.

例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.

3.求多面体的外接球的有关问题 例1、 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

9柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体积为

.

解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

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6x?3,1??x?,??2??9?32?6?xh,??h?3．4??8

r?∴正六棱柱的底面圆的半径

31d?2.∴外接球的半径2，球心到底面的距离

R?r2?d2?1.

?V球?4?3.

222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法)

1、构造正方体

例1 、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.

解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD?3，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9?.

例2、 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为

3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R，则有

?2R??22??????32?32?32?9R2?.∴

94.

故其外接球的表面积S?4?R?9?.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直

2222R?a?b?cR径.设其外接球的半径为，则有.

出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为

，则体对角线长为

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，几何体的外接球直径为

例3、在四面体

体对角线长 即

中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该

四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长

所以：四面体外接球的直径为即：

球的表面积为

例4、 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A的长

所以

D（ ）

BCA. 3? B. 4? C. 33? D. 6?

图

解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A?BDE满足条件，即

AB=AD=AE=BD=DE?BE?2，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)

例5、在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=60，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.

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43666????272824A. B. C. D.

解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，?DAB=?CBE=?DEA=60，所以

0AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6

就完全相同了，故选C. D A E

CPB图3

DEC例6、已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，

DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 .

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA?平面ABC，AB?BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.

DO9?故球O的体积等于2.（如图4）

2、构造长方体

ABC图例1、已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB?平面BCD，BC?DC，若

AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是 .

解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，

OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出?BOC即可，在Rt?ABC中，

A求出BC=4，所以?BOC=60，故B、C两点间的球

O04?3面距离是.（如图5）

BCD图

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本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法

例1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16? B.20? C.24? D.32?

2x4x?16，解得x?2. R解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有

2222R?2?2?4?26,　 　?R?6.∴这个球的表面积是4?R2?24?.选C. ∴

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例1、正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点

DASCO1BS、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .

解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1?平面ABCD.

又SO1?平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.

图3∴?ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在?ASC中，由SA?SC?2，AC?2，得SA2?SC2?AC2.

∴?ASC是以AC为斜边的Rt?.

AC4??1V球?3. ∴2是外接圆的半径，也是外接球的半径.故

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截

面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

五 .确定球心位置法

例1、在矩形ABCD中，AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角

B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

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