指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为?0,1?和?1,???
（1）如果底数和真数均在?0,1?中，或者均在?1,???中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在?0,1?中，一个在?1,???中，那么对数的值为负数 例如：log30.5?0,log0.50.3?0,log23?0等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
1314123??3131412?,4??4141312?,5??5121612，从而只需比较底数的大小即可
?（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知
1?log22?log23?log24?2，进而可估计log23是一个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
?m?m（1）a??an?
??（2）logaM?logaN?logaMN logaM?logaN?loga（3）logaN?nlogaN?a?0,a?1,N?0?
nnM N
（4）换底公式：logab?logcb logca1nn （令c?b） logamN?logaN logbam进而有两个推论：logab?二、典型例题：
例1：设a?log3?,b?log23,c?log32，则a,b,c的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出a?1,0?b?1,0?c?1，从而a肯定最大，只需比较b,c即可，观察到b,c有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：
11b?log23?log23,c?log32?log32，从而可比较出log32?1?log23，所以
22c?b
答案：c?b?a
例2：设a?log32,b?ln2,c?5?12，则a,b,c的大小关系是___________
思路：观察发现a,b,c均在?0,1?内，a,b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：
a?b，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计a,b,c值
得大小：c?5进而a??12?11111??，可考虑以为中间量，则a?log32?log33?，
225421?c，所以大小顺序为b?a?c 2ln2ln3ln5,b?,c?, 则a,b,c的大小关系为（ ） 235答案：b?a?c 例3：设a?A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D. b?c?a 思路：观察到a,b,c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的
111ln2ln3ln532?ln2,b??ln3,c??ln55,发现真数的底与指数也不相同，所比较。a?235以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：2?2通过比较底数的大小可得：b?a?c 答案：C
12??11530,3??31311030?,5??5151630 ，
?小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部
分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”
（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较
a,b:2=?212136?,3=?313126?，从而a?b，同理再比较a,c或b,c即可
例4：设a?log36，b?log510，c?log714，则（ ）
A. c?b?a B. b?c?a C. a?c?b D. a?b?c 思路：观察可发现：
a?log3?3?2??1?log32,b?log5?5?2??1?log52,c?log7?7?2??1?log72
log32?log52?log72，所以可得：a?b?c
答案：D
例5：设a???,b???,c???, 则a,b,c的大小关系为（ ）
A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D. b?c?a 思路：观察可发现b,c的底数相同，a,c的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于
?3??5?25?2??5?35?2??5?25b,c，两者底数在?0,1?，则指数越大，指数幂越小，所以可得b?c，再比较a,c，两者指
数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以a?c，综上：a?c?b 答案：B
例6：已知三个数a?3,b?log32,c?cos0.53，则它们之间的大小关系是（ ） 2A. c?b?a B. c?a?b C. a?b?c D. b?c?a 思路：可先进行0,1分组，a?30.5?1，0?b,c?1，所以只需比较b,c大小，两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以cos33?3?1作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。??cos?cos?，而22323211log32?log33?，从而c??b，大小顺序为c?b?a
22答案：A
小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。
1.13.1例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设a?log37,b?2,c?0.8，则（ ）
A. b?a?c B. a?c?b C. c?b?a D. c?a?b 思路：首先进行0,1分组，可得c?1?a,b，下面比较a,b的大小，可以考虑以2作为中间量，b?2答案：D
1.1?2,a?log37?log39?2，所以a?2?b，从而c?a?b
?1?例8：设a?b?0,a?b?1且x???,y?log?11?ab,z?log1a，则x,y,z的大小关系
????a?b?ab?是（ ）
A. y?x?z B. z?y?x C. y?z?x D. x?y?z 思路：由a?b?0,a?b?1可得：0?b?b1?a?1，先用0,1将x,y,z分堆，x?0，2y,z?0，则x为最大，只需要比较y,z即可，由于y,z的底数与真数不同，考虑进行适当
变形并寻找中间量。y?log?11?????ab?而z?log1a??logba，ab?loga?bab?log1ab??1，
ababb因为0?b?1，所以logba?logbb?1,z??logba??1?y，所以顺序为y?z?x 答案：C
例9：下列四个数：a??ln2?,b?ln?ln2?,c?ln2,d?ln2的大小顺序为________ 思路：观察发现b?ln?ln2??0，其余均为正。所以只需比较a,c,d，考虑ln2??0,1?，所以a?d，而c?ln2?21ln2?d，所以下一步比较a,c：211?2?a?c??ln2??ln2?ln2?ln2???ln2ln2?lne?0，所以a?c，综上所述，
22????大小顺序为b?c?a?d 答案：b?c?a?d
?1??1?例10：已知a,b,c均为正数，且2?log1a,???log1b,???log2c，则（ ）
?2??2?22abcA. a?b?c B. c?b?a C. c?a?b D. b?a?c 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断a,b,c的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：log1a,log1b,log2c均大于0，由对数的
22
?1?符号特点可得：a,b??0,1?,c?1，只需比较a,b大小即可。观察到2?1???，从而
?2?ablog1a?log1b?a?b，所以顺序为a?b?c
22答案：A
小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为y?log1x2?1?的形式，而第三个等式也可变形为?????log2c?log1c，从而可以考虑视a,b,c分别
?2?2为两个函数的交点。先作出y?log1x图像，再在这个坐标系中作出
2c?1??1?y?2x,y???,y????，比较交点的位置即可。
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全国高考数学复习微专题：指对数比较大小
