专题07
圆锥曲线中的直线（线段）的问题
解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同． 一、题型选讲
题型一 圆锥曲线中的线段的关系
x2y22例1、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且ab2直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．
(1) 求椭圆E的方程； (2) 求证：MR⊥PQ.
x2y22c2b212
规范解答 (1)因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，所以e＝2＝1－2＝，即a2＝2b2. (2分)
ab2aa2因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2， 41
所以点(2，1)在椭圆上，即2＋2＝1.
ab解得a2＝6，b2＝3，
x2y2
所以椭圆E的方程为＋＝1.(6分)
63
(2)解法1(设线法) 因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m. 设 P(x1，y1)，Q(x2, y2) .
因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故R(2，2k＋m)． x2y2?
联立方程组?y＝kx＋m，6＋3＝1，
?
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消去y，并化简得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0, (9分) －4km
所以x1＋x2＝ .
1＋2k2
－4km2
由x1＋x2＝2＝4，得1＋2k＝－km.(12分) 1＋2k2k＋m因为M(1，0)，故kMR＝＝2k＋m，
2－1
所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－1，所以MR⊥PQ.(16分) 解法2(设点法) 设P(x1，y1)，Q(x2, y2)．
因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故设R(2，t)．
22
x2x2y2?x21y12y2
因为点P，Q在椭圆E：＋＝1上，所以?6＋3＝1，6＋3＝1，
63?
两式相减得(x1＋x2) (x1－x2)＋2(y1＋y2) (y1－y2)＝0.(9分) 因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t. 代入上式并化简得(x1－x2)＋t (y1－y2)＝0.(12分) 又M(1，0)，
→→
所以MR·PQ＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0， 因此 MR⊥PQ.(16分)
用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0”结合，其实颠倒一下也可行．
x2y2
例2、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为
ab2
，点(2,1)在椭圆C上． 2
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点. ①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积； ②求证： OP⊥OQ.
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思路分析 (1) 由e＝＝ca2
，得a∶b∶c＝2∶1∶1，用b表示a更方便； 2
(2) ①设直线l的方程为y＝k(x－3)，由直线l与圆O相切可先求出k，再求出PQ的长即可． →→
②设l：y＝kx＋m，则只要证OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.联列直线与椭圆方程可得
＋x2，x1x2均可用k，m表示．由直线l与圆O相切，可得k与m的关系式．
规范解答 (1) 由题意，得c24a＝2，1
a2＋b2＝1，解得a2＝6，b2＝3.
x26＋y2
所以椭圆的方程为3＝1.(2分)
(2) ①解法1 椭圆C的右焦点F(3，0)． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
所以|－3k|
k2＋1
＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)．当k＝2时，(4分)??y＝2?x－3?，
由方程组??x2?6＋y23
＝1，
?x＝43＋32
?解得??
5，或?x＝43－32
，???
5y＝－6＋65
??y＝－6－65
.
所以点P，Q的坐标分别为43＋32－6＋5， 65， 43－32－6－6
5， 5
， 所以PQ＝665
.(6分)
因为O到直线PQ的距离为2，所以△OPQ的面积为635
.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3)时，△OPQ的面积也为63
5.
综上所述，△OPQ的面积为
635
.(8分) 解法2 椭圆C的右焦点F(3，0)．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
所以|－3k|
k2＋1＝2，解得k＝±2，所以切线方程为y＝±2(x－3)．当k＝2时，(4分)把切线方程 y＝2(x－3)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－83x＋6＝0. 设P(x83
1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝5
.
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2020届新高考数学二轮微专题突破专题07 圆锥曲线中的直线(解析版)
