第二章 平面向量
一、向量的基本概念与基本运算 1、数量:只有大小,没有方向的量.
2、有向线段: ①定义:带有方向的线段(规定了起点和终点的线段叫做有向线段。
②.表示:表示有向线段时,要将表示起点的字母写在前面,表示终点的字母写在后面。在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
③.有向线段包括三要素:起点、方向和长度,知道了有向线段的起点,它的终点就被方向和长度唯一确定。
④有向线段不等同于向量。二者的区别是:向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段。
3、向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向量的膜:向量的大小即向量的模(长度,记作|AB |即向量的大小,记作|a | 注意:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别
③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?|0a |=1
④平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大小相等,方向相同,(,(2211y x y x =???==?2
121y y x x 二、向量加法。
定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==,则a +b =AB BC +=AC (1a a a =+=+00;(2向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
(2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC CD PQ QR AR +++
++=,
但这时必须“首尾相连”. 三、向量的减法。
① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量记作a -,零向量的相反向量仍是零向量
②关于相反向量有: (i (a --=a ; (ii a +(a -=(a -+a =0 ; (iii若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0 ③向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,
记作:(b a b a -+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ④作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点
四、实数与向量的积:
1、①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰa a ?=λλ;
(Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时,λa 的方向与a 的方向相反; 当0=λ时,0 =a λ,方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 2、两个向量共线定理:
向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ,使得b =a λ
五、平面向量的基本定理:
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只
有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底 特别注意:
(1向量的加法与减法是互逆运算
(2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合,而向量平行则包括共线(重合的情况
(4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
例1 、给出下列命题: ① 若|a |=|b |,则a =b ;
② 若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;
③ 若a =b ,b =c ,则a =c ,
④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ; ⑤ 若a //b ,b //c ,则a //c , 其中正确的序号是
解: ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
② 正确.∵ AB DC =,∴ ||||AB DC =且//AB DC ,又 A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则,//AB DC 且||||AB DC =,因此,AB DC =.
③ 正确.∵ a =b ,∴ a ,b 的长度相等且方向相同;又b =c ,∴ b ,c 的长度相等且方向相同,∴ a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .
④ 不正确.当a //b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.
⑤ 不正确.考虑b =0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.
例2 、设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简: ①AB BC CD ++,②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+- 解: ①原式= (AB BC CD AC CD AD ++=+= ②原式= (0DB BD AC AC AC ++=+=
③原式= (((0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=
例3、设非零向量a 、b 不共线,c =k a +b ,d =a +k b (k ∈R,若c ∥d ,试求k 解: ∵c ∥d
平面向量知识点总结及同步练习
