§4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 公共点个数 几何法：设圆心到直线的距离为d＝|Aa＋Bb＋C|判断方法 相交 2个 相切 1个 相离 0个 A2＋B2 d
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．
(√)
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．
考点 直线与圆的位置关系
题点 已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围 解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝6
6
，圆的半径为r＝2.
m＋1
2
①若相交，则d＜r，即
m2＋1
6
＜2，所以m＜－22或m＞22；
②若相切，则d＝r，即
m2＋1
6
2
＝2，所以m＝±22；
③若相离，则d＞r，即
＞2，所以－22＜m＜22. m＋1
反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A．相离
C．相交但直线不过圆心 考点 直线与圆的位置关系 题点 判断直线与圆的位置关系 答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C. 类型二 切线问题 命题角度1 求切线方程
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程
B．相切
D．相交且直线过圆心
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， |3k－1－3－4k|所以＝1，即|k＋4|＝k2＋1， 2
k＋115
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
81515
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
82即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 引申探究
若例2的条件不变，求其切线长． 解 因为圆心C的坐标为(3，1)， 设切点为B，则△ABC为直角三角形， |AC|＝?3－4?2＋?1＋3?2＝17， 又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝所以切线长为4.
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的1
斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率
?17?2－12＝4，
k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. (2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程 答案 x＋2y－5＝0
解析 点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点
P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.
命题角度2 已知直线与圆相切，求圆的方程
例3 过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为____________． 考点 圆的切线问题 题点 由相切求圆的方程 答案 (x－3)2＋y2＝2 解析 由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
?x＝3，
联立①②，解得?
?y＝0，
所以圆心坐标为(3，0)，
半径r＝?4－3?2＋?1－0?2＝2， 所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
反思与感悟 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练3 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则
圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 考点 圆的切线问题 题点 由相切求圆的方程 答案 B
解析 设圆心为C(a，－a)，
|a＋a||a＋a－4|则＝，解得a＝1，
22|1＋1|所以r＝＝2，
2
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B. 类型三 弦长问题
例4 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________． 考点 圆的弦长问题 题点 求圆的弦长 答案
30
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0，
|－1|2
圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝，
22则有|AB|＝2r－d＝2
2
2
1
8－＝30. 2
2的圆的方程为
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2________________________． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求圆的方程
人教A版必修2 第四章 4.2.1直线与圆的位置关系 学案
