习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数：
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
(1)xy??2y,y?5x2;
2y?5x解：由得y??10x代入方程得
故是方程的解.
(2)y???y?0,y?3sinx?4cosx;
解：y??3cosx?4sinx; y????3sinx?4cosx 代入方程得 ?3sinx?4cosx?3sinx?4cosx?0.
故是方程的解.
(3)y???2y??y?0, y?x2ex;
x2x2x2x???y?2xe?xe?(2x?x)e, y?(2?4x?x)e解： x代入方程得 2e?0. 故不是方程的解.
??C1?1e?1x?C2?2e?2x, y???C1?12e?1x?C2?22e?2xy解：
代入方程得 故是方程的解.
3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程x?xy?y?C两端对x求导：
22y??得
代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程y?ln(xy)两端对x求导：
2x?yx?2y
y??y??yx(y?1).
11?y?xy (*)
得
(*)式两端对x再求导得
将y?,y??代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当x?0时，y=5.故C=-25
故所求曲线为：y?x?25
22??(C2?2C1?2C2x)e2xy解：
当x=0时，y=0故有
C1?0.
C2?1.
2x又当x=0时，y??1.故有
故所求曲线为：y?xe.
5. 求下列各微分方程的通解：
(1)xy??ylny?0;
dy1?dx解：分离变量,得 ylnyx
11dlny?dx??lnyx积分得
cxy?e得 .
dydx?1?x 解：分离变量，得 1?ydydx??1?y?1?x积分得 得通解： ?21?y??21?x?c.
(3)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0;
eyeydy?dxyx1?e解：分离变量，得 1?e yx?ln(e?1)?ln(e?1)?lnc 积分得
得通解为 (e?1)(e?1)?c.
xy(4)cosxsinydx?sinxcosydy?0;
cosxcosydx?dy?0siny解：分离变量，得 sinx
积分得 lnsiny?lnsinx?lnc 得通解为 siny?sinx?c.
(5)y??xy;
dy?xdxy解：分离变量，得
积分得
lny?12x?c12
12x2得通解为 y?ce (c?ec1)
(6)2x?1?y??0;
解： y???2x?1 积分得
y??(?2x?1)dx
2y??x?x?c. 得通解为
(7)4x3?2x?3y2y??0;
解：分离变量，得 3ydy?(4x?2x)dx
积分得 y?x?x?c
即为通解.
34223(8)y??ex?y.
?yxedy?edx 解：分离变量，得
积分得
?yxedy?e??dx?yx
得通解为： ?e?e?c.
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
(1)y??e2x?y, yx?0?0;
y2xedy?edx 解：分离变量，得
1ey?e2x?c2积分得 . 1c?2 以x?0,y?0代入上式得1ey?(e2x?1)2故方程特解为 .
(2)y?sinx?ylny, yx?π?e2.
dydx?解：分离变量，得 ylnysinx
积分得 y?e将
c?tanx2
x?π,y?e2代入上式得c?1
tanx2故所求特解为 y?e7. 求下列齐次方程的通解：
.
(1)xy??y?y2?x2?0; dyy?y??????1?x?解：dxx ydyduu???u?xxdxdx 令
dudx?2x 原方程变为 u?12ln(u?u?1)?lnx?lnc 两端积分得
222y?y?x?cx即通解为：
2dyy?ylndxx; dyyy?lnx 解：dxxydyduu??u?xx， 则dxdx 令
(2)xdudx?x 原方程变为 u(lnu?1)积分得 ln(lnu?1)?lnx?lnc
即方程通解为 y?xecx?1
2?y?1???dyx2?y2???x?ydxxyx解：
ydyduu??u?xx， 则dxdx 令
du1?u2u?x?dxu 原方程变为
du1dxx?, udu?x 即 dxu12u?lnx?lnc12积分得
2222y?xln(cx) (c?c) 1故方程通解为
(4)(x3?y3)dx?3xy2dy?0;
y?1????33dyx?yx????2dx3xy2y??3???x? 解：
ydyduu??u?xx, 则dxdx 令
du1?u3u?x?dx3u2 原方程变为 3u2dxdu?3x 即 1?2u1?ln(2u3?1)?lnx?lnc1积分得 2 y332y?x?cx. x以代替u，并整理得方程通解为
dyx?y(5)?dxx?y;
3ydyx?dx1?yx 解：
ydyduu??u?xx， 则dxdx 令
1?du1?u?dx1?u 原方程变为
1?u1du?dx2x 分离变量,得 1?u1arctanu?ln(1?u2)?lnx?lnc12积分得
u?xy2arctan122yxx?y?ce. (c?2)c1 以x代替u，并整理得方程通解为到
ydyx?2dxy??1?1????x? 解：
dxx?x??????1dyy?y?即 xdxdv?vx?yv,?v?ydydy, 令y， 则
原方程可变为
2dv?v2?1即 dy
dvy分离变量，得 v2?1?dyy
2ln(v?v?1)?lny?lnc. 积分得
即
v?v2?1?yc
c?y2?2c?x????2? 以yv?x代入上式，得
22y?2cx?c即方程通解为 .
8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：
(1)(y2?3x2)dy?2xydx?0, yx?0?1;
dy??2dx?y??3???x?解：
du2uu?x??2dxu?3 令y?ux，则得
2yxu2?3dxdu?3x 分离变量，得 u?u积分得 ?3lnu?ln(u?1)?ln(u?1)?lncx
高等数学课后习题答案第六章
