人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
一、初三数学 圆易错题压轴题(难)
1.在圆O中,C是弦AB上的一点,联结OC并延长,交劣弧AB于点D,联结AO、BO、 AD、BD.已知圆O的半径长为5,弦AB的长为8.
(1)如图1,当点D是弧AB的中点时,求CD的长; (2)如图2,设AC=x,
SSACOOBD=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;
(3)若四边形AOBD是梯形,求AD的长.
14xx2?8x?25【答案】(1)2;(2)y=(0<x<8);(3)AD=或6.
55(8?x)【解析】 【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB,DG⊥AB,用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积,便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论. 【详解】
解:(1)∵OD过圆心,点D是弧AB的中点,AB=8, ∴OD⊥AB,AC=
1AB=4, 2在Rt△AOC中,∵∠ACO=90°,AO=5, ∴CO=AO2?AC2=3,
∴OD=5, ∴CD=OD﹣OC=2;
(2)如图2,过点O作OH⊥AB,垂足为点H, 则由(1)可得AH=4,OH=3, ∵AC=x, ∴CH=|x﹣4|,
在Rt△HOC中,∵∠CHO=90°,AO=5,
∴CO=HO2?HC2=32?|x?4|2=x2?8x?25,
∴CD=OD﹣OC=5﹣x2?8x?25, 过点DG⊥AB于G, ∵OH⊥AB, ∴DG∥OH, ∴△OCH∽△DCG, ∴
OHOC?, DGCD2OH?CD35?x?8x?25=∴DG=, OCx2?8x?25??∴S△ACO=
113AC×OH=x×3=x, 22235?x2?8x?25113S△BOD=BC(OH+DG)=(8﹣x)×(3+)=(8﹣x)
222x2?8x?25×??5x2?8x?25ACOOBD
3x2S∴y=
S=
35?8?x??22x?8x?25xx2?8x?25=(0<x<8)
5?8?x?(3)①当OB∥AD时,如图3,
过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E,过点O作OF⊥AD,垂足为点F, 则OF=AE, ∴S=AE=
11AB?OH=OB?AE, 22AB?OH24==OF, OB5在Rt△AOF中,∠AFO=90°,AO=5,
7AO2?OF2=
5∵OF过圆心,OF⊥AD,
14∴AD=2AF=.
5∴AF=②当OA∥BD时,如图4,过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M,过点D作DG⊥AO,垂足为点G,
则由①的方法可得DG=BM=
24, 5在Rt△GOD中,∠DGO=90°,DO=5,
718,AG=AO﹣GO=, 55在Rt△GAD中,∠DGA=90°,
∴GO=DO2?DG2=∴AD=AG2?DG2=6
14或6. 5综上得AD=
xx2?8x?2514故答案为(1)2;(2)y=(0<x<8);(3)AD=或6.
55?8?x?【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识,难度大,综合性很强.
2.如图,矩形ABCD中,BC=8,点F是AB边上一点(不与点B重合)△BCF的外接圆交对角线BD于点E,连结CF交BD于点G. (1)求证:∠ECG=∠BDC.
(2)当AB=6时,在点F的整个运动过程中. ①若BF=22时,求CE的长.
②当△CEG为等腰三角形时,求所有满足条件的BE的长.
(3)过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P.若PE∥CF且CF=6PE,记△DEP的面积
S1为S1,△CDE的面积为S2,请直接写出的值.
S2
【答案】(1)详见解析;(2)①角形;(3)【解析】
3944182;②当BE为10,或时,△CEG为等腰三
5557. 24
【分析】
(1)根据平行线的性质得出∠ABD=∠BDC,根据圆周角定理得出∠ABD=∠ECG,即可证得结论;
(2)根据勾股定理求得BD=10,
①连接EF,根据圆周角定理得出∠CEF=∠BCD=90°,∠EFC=∠CBD.即可得出sin∠EFC
CECD3182; ??,根据勾股定理得到CF=62,即可求得CE=5CFBD5②分三种情况讨论求得:
=sin∠CBD,得出
当EG=CG时,根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC,从而证得E、D重合,即可得到BE=BD=10;
当GE=CE时,过点C作CH⊥BD于点H,即可得到∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC,得到CG=CD=6.根据三角形面积公式求得CH=HE,即可求得BE=BH+HE=
24,即可根据勾股定理求得GH,进而求得539; 5EM4?.设EM=4k,则CMCM3GM2k1??,即可得到tan∠GCH==3k,CG=CE=5k.得出GM=2k,tan∠GEM=
EM4k2当CG=CE时,过点E作EM⊥CG于点M,由tan∠ECM=
GH11244=.求得HE=GH=,即可得到BE=BH+HE=;
55CH2(3)连接OE、EF、AE、EF,先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF=CE,进而证得四边形ABCD是正方形,进一步证得△ADE≌△CDE,通过证得△EHP∽△FBC,得出EH=
110BF,即可求得BF=6,根据勾股定理求得CF=10,得出PE=,根据勾股定理求得66PH,进而求得PD,然后根据三角形面积公式即可求得结果. 【详解】 (1)∵AB∥CD. ∴∠ABD=∠BDC, ∵∠ABD=∠ECG, ∴∠ECG=∠BDC.
(2)解:①∵AB=CD=6,AD=BC=8, ∴BD=62?82=10,
如图1,连结EF,则∠CEF=∠BCD=90°, ∵∠EFC=∠CBD. ∴sin∠EFC=sin∠CBD, ∴
CECD3?? CFBD5∴CF=BC2?BF2=62,
∴CE=182. 5②Ⅰ、当EG=CG时,∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC. ∴E与D重合, ∴BE=BD=10.
Ⅱ、如图2,当GE=CE时,过点C作CH⊥BD于点H, ∴∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC, ∴CG=CD=6. ∵CH=
BC?CD24?, BD522?24?18,
∴GH=6?? ??5?5?在Rt△CEH中,设HE=x,则x2+(7解得x=,
524218)=(x+)2 55∴BE=BH+HE=
32739+=; 555Ⅲ、如图2,当CG=CE时, 过点E作EM⊥CG于点M. ∵tan∠ECM=
EM4?. CM3GM2k1??, EM4k2设EM=4k,则CM=3k,CG=CE=5k. ∴GM=2k,tan∠GEM=∴tan∠GCH=
GH1=tan∠GEM=. CH212412?, ∴HE=GH=?255321244??, 5553944综上所述,当BE为10,或时,△CEG为等腰三角形;
55(3)解:∵∠ABC=90°,
∴FC是△BCF的外接圆的直径,设圆心为O, 如图3,连接OE、EF、AE、EF, ∵PE是切线, ∴OE⊥PE, ∵PE∥CF,
∴BE=BH+HE=
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