人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、 AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长； （2）如图2，设AC=x，
SSACOOBD=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
14xx2?8x?25【答案】（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．
55(8?x)【解析】 【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论. 【详解】
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，AC=
1AB=4， 2在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴CO=AO2?AC2=3，
∴OD=5， ∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H， 则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x， ∴CH=|x﹣4|，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴CO=HO2?HC2=32?|x?4|2=x2?8x?25，
∴CD=OD﹣OC=5﹣x2?8x?25， 过点DG⊥AB于G， ∵OH⊥AB， ∴DG∥OH， ∴△OCH∽△DCG， ∴
OHOC?， DGCD2OH?CD35?x?8x?25=∴DG=， OCx2?8x?25??∴S△ACO=
113AC×OH=x×3=x， 22235?x2?8x?25113S△BOD=BC（OH+DG）=（8﹣x）×（3+）=（8﹣x）
222x2?8x?25×??5x2?8x?25ACOOBD
3x2S∴y=
S=
35?8?x??22x?8x?25xx2?8x?25=（0＜x＜8）
5?8?x?（3）①当OB∥AD时，如图3，
过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F， 则OF=AE， ∴S=AE=
11AB?OH=OB?AE， 22AB?OH24==OF， OB5在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，
7AO2?OF2=
5∵OF过圆心，OF⊥AD，
14∴AD=2AF=．
5∴AF=②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，
则由①的方法可得DG=BM=
24， 5在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，
718，AG=AO﹣GO=， 55在Rt△GAD中，∠DGA=90°，
∴GO=DO2?DG2=∴AD=AG2?DG2=6
14或6． 5综上得AD=
xx2?8x?2514故答案为（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．
55?8?x?【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G． （1）求证：∠ECG＝∠BDC．
（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中． ①若BF＝22时，求CE的长．
②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．
（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积
S1为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值．
S2
【答案】（1）详见解析；（2）①角形；（3）【解析】
3944182；②当BE为10，或时，△CEG为等腰三
5557. 24
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得BD＝10，
①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC
CECD3182； ??，根据勾股定理得到CF＝62，即可求得CE＝5CFBD5②分三种情况讨论求得：
＝sin∠CBD，得出
当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；
当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝HE，即可求得BE＝BH＋HE＝
24，即可根据勾股定理求得GH，进而求得539； 5EM4?．设EM＝4k，则CMCM3GM2k1??，即可得到tan∠GCH＝＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝
EM4k2当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝
GH11244=．求得HE＝GH＝，即可得到BE＝BH＋HE＝；
55CH2（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝
110BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝，根据勾股定理求得66PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】 （1）∵AB∥CD． ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠ECG， ∴∠ECG＝∠BDC．
（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， ∴BD＝62?82＝10，
如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°， ∵∠EFC＝∠CBD． ∴sin∠EFC＝sin∠CBD， ∴
CECD3?? CFBD5∴CF＝BC2?BF2＝62，
∴CE＝182． 5②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC． ∴E与D重合， ∴BE＝BD＝10．
Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H， ∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC， ∴CG＝CD＝6． ∵CH＝
BC?CD24?， BD522?24?18，
∴GH＝6?? ??5?5?在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（7解得x＝，
524218）＝（x+）2 55∴BE＝BH+HE＝
32739+＝； 555Ⅲ、如图2，当CG＝CE时， 过点E作EM⊥CG于点M． ∵tan∠ECM＝
EM4?． CM3GM2k1??， EM4k2设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k． ∴GM＝2k，tan∠GEM＝∴tan∠GCH＝
GH1＝tan∠GEM＝． CH212412?， ∴HE＝GH＝?255321244??， 5553944综上所述，当BE为10，或时，△CEG为等腰三角形；
55（3）解：∵∠ABC＝90°，
∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O， 如图3，连接OE、EF、AE、EF， ∵PE是切线， ∴OE⊥PE， ∵PE∥CF，
∴BE＝BH+HE＝
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