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3.1.5 空间向量的数量积
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的夹角
→→
1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量a与向量b的夹角，记作________. 2.图形表示：
角度 〈a，b〉＝________ 〈a，b〉是________ 表示 〈a，b〉是________ 〈a，b〉是钝角 〈a，b〉＝________
3.范围：________≤〈a，b〉≤________.
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4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作________.
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知识点二 空间向量的数量积
思考 两个向量的数量积是数量，还是向量？
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梳理 (1)定义：
①设a，b是空间两个非零向量，把数量______________叫做a，b的数量积. ②记作：a·b，即a·b＝________________. (2)运算律：
交换律 数乘向量与向量 数量积的结合律 分配律
(3)坐标表示：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a·b＝________________.
②a⊥b?________?________________. ③|a|＝a·a＝________________.
④cos〈a，b〉＝________________________.
知识点三 空间中两点间的距离公式
思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？
梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝________________________.
a·b＝________________ (λa)·b＝________(λ∈R) a·(b＋c)＝________
类型一 空间向量的数量积运算 命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. ①p·q＝(p·q)；
②|p＋q|·|p－q|＝|p－q|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.
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(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求： ①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).
反思与感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
→→→→→→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求： →→→→→→→(1)(OA＋OB )·(CA＋CB)；(2)|OA＋OB＋OC|.
类型二 利用数量积求夹角或模 命题角度1 利用数量积求夹角
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例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA. 求证：l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
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反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，
D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.
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【小初高学习]2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量
