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高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案

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高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案

曲边梯形的面积

一、教学目标:理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思想方法。

二、教学重难点:

重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限) 难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解

三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 1、创设情景

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段围成的。那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用,初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念:如果函数y?f(x)在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线,那么就把函数y?f(x)称为区间I上的连续函数.(不加说明,下面研究的都是连续函数) 2、新课探析

问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线

y?f(x)的一段,我们把由直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面

积?

例题:求图中阴影部分是由抛物线y?x,直线x?1以及x轴所围成的平面图形的面积S。

2

思考:(1)曲边梯形与“直边图形”的区别?(2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化

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为求“直边图形”面积的问题?

分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段,“直边图形”的所有边都是直线段.“以直代曲”的思想的应用.

x x 1 x 1 1

yy y y y?x2O0.20.40.60.81x

0.1把区间?0,1?分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代取”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即:用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 解: (1).分割

在区间?0,1?上等间隔地插入n?1个点,将区间?0,1?等分成n个小区Oyy=x2i-1inn1x?1??12??n?1?,1? 间:?0,?,?,?,…,??n??nn??n?,?(i?1,2,L,n),其长度为记第i个区间为?nn???i?1i?yy=x2ii?11?x???

nnn分别过上述n?1个分点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形,他们的面积分别记作:

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?S1,?S2,…,?Sn显然,S?(2)近似代替

记f?x??x,如图所示,当n很大,即?x很小时,在区间?2??S

ii?1n?i?1i?,?上,可以认为函数nn??f?x??x2的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点

数值f?i?1处的函n?i?1??,从图形上看,就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如n??图).这样,在区间?直代取”,则有

?i?1i?,?上,用小矩形的面积?Si?近似的代替?Si,即在局部范围内“以?nn??i?1??i?1??i?1?1?Si??Si??f?g?x?g?x??????g(i?1,2,L,n) ①

?n??n??n?n(3)求和:由①,上图中阴影部分的面积Sn为

ni?1???i?1?1?Sn???Si???f?g?x?????g

nn???ni?1i?1i?1?221?n?1?n?2n?1?1?21?1?12?n?1?12?=0g???g?L??===1?2?L?n?1g????33?n6nn?n?n?n?nnn2221?1??1?1?1??1?1?1?S?S?1?1?,从而得到的近似值 Sn???????? 3?n??2n?3?n??2n?(4)取极限:分别将区间?0,1?等分8,16,20,…等份(如图),可以看到,当n趋向于无穷大时,即?x趋向于0时,Sn?n1?1??1?1?1?????趋向于S,从而有 3?n??2n?1?1??1?1?i?1?1S?limSn?lim?f?g?lim1?1??????? n??n??n??3nnn2n??????3i?1从数值上的变化趋势:

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3.求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割.在区间?a,b?中任意插入n?1各分点,将它们等分成n个小区间?xi?1,xi??i?1,2,L,n?,区间?xi?1,xi?的长度?xi?xi?xi?1,第二步:近似代替,“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值.第三步:求和.第四步:取极限。

说明:1.归纳以上步骤,其流程图表示为:分割?以直代曲?求和?逼近 2.最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值 练习:课本P76练习题:设S表示由曲线y?x,x=1,以及x轴所围成平面图形的面积。

四、课堂小结:求曲边梯形的思想和步骤:分割?以直代曲?求和?逼近 (“以直代曲”的思想) 五、教学后记

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高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案曲边梯形的面积一、教学目标:理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思想方法。二、教学重难点:重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)难点:对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解三、教学方法:探
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