高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案
曲边梯形的面积
一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数y?f(x)在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数y?f(x)称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线
y?f(x)的一段，我们把由直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面
积？
例题：求图中阴影部分是由抛物线y?x，直线x?1以及x轴所围成的平面图形的面积S。
2
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化
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为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
x x 1 x 1 1
yy y y y?x2O0.20.40.60.81x
0.1把区间?0,1?分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割
在区间?0,1?上等间隔地插入n?1个点，将区间?0,1?等分成n个小区Oyy=x2i-1inn1x?1??12??n?1?,1? 间：?0,?，?,?，…，??n??nn??n?,?(i?1,2,L,n)，其长度为记第i个区间为?nn???i?1i?yy=x2ii?11?x???
nnn分别过上述n?1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
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?S1，?S2，…，?Sn显然，S?（2）近似代替
记f?x??x，如图所示，当n很大，即?x很小时，在区间?2??S
ii?1n?i?1i?,?上，可以认为函数nn??f?x??x2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
数值f?i?1处的函n?i?1??，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如n??图）．这样，在区间?直代取”，则有
?i?1i?,?上，用小矩形的面积?Si?近似的代替?Si，即在局部范围内“以?nn??i?1??i?1??i?1?1?Si??Si??f?g?x?g?x??????g(i?1,2,L,n) ①
?n??n??n?n（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积Sn为
ni?1???i?1?1?Sn???Si???f?g?x?????g
nn???ni?1i?1i?1?221?n?1?n?2n?1?1?21?1?12?n?1?12?=0g???g?L??===1?2?L?n?1g????33?n6nn?n?n?n?nnn2221?1??1?1?1??1?1?1?S?S?1?1?，从而得到的近似值 Sn???????? 3?n??2n?3?n??2n?（4）取极限：分别将区间?0,1?等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即?x趋向于0时，Sn?n1?1??1?1?1?????趋向于S，从而有 3?n??2n?1?1??1?1?i?1?1S?limSn?lim?f?g?lim1?1??????? n??n??n??3nnn2n??????3i?1从数值上的变化趋势：
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3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间?a,b?中任意插入n?1各分点，将它们等分成n个小区间?xi?1,xi??i?1,2,L,n?，区间?xi?1,xi?的长度?xi?xi?xi?1，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割?以直代曲?求和?逼近 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 练习：课本P76练习题：设S表示由曲线y?x，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割?以直代曲?求和?逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教学后记
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