[学生用书P95(单独成册)])
[A 基础达标]
2
1．特称命题“存在实数x0，使x0＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0 C．?x0∈R，x20＋1<0
B．?x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确
解析：选C．特称命题中“存在”可用符号“?”表示，故选C． 2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．?x∈R，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：选D．A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D．
3．已知命题p：?x∈R，2x2－2x＋1≤0，命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝2，则下列判断正确的是( )
①“p且q”是真命题； ②“p或q”是真命题； ③q是假命题； ④“非p”是真命题． A．①④ C．③④
B．②③ D．②④
解析：选D．由题意，知p假q真，故②④正确，选D．
4．已知命题p：?x0∈R，x2命题q：不等式x2－2x－1＞0恒成立，那么( ) 0＋1＜2x0；A．“﹁p”是假命题 B．q是真命题 C．“p∨q”是假命题 D．“p∧q”是真命题
解析：选C．根据基本不等式，x2＋1≥2x，所以命题p是假命题． 因为当x＝0时，x2－2x－1＝－1＜0，所以命题q是假命题．
所以﹁p是真命题，“p∨q”是假命题，“p∧q”是假命题；所以C正确． 5．给出下列四个命题： ①对任意的x∈R，x2＞0； ②存在x0∈R，使得x20≤x0成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N； ④存在α0，β0∈R，使tan(α0＋β0)＝tan α0＋tan β0． 其中真命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选D．对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”写成特称命题为________________________________________________________________________．
解析：特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”． 答案：?x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)2＞0
π
0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 7．若“?x∈??4?ππ
0，?上恒成立，即y＝tan x在?0，?上解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间??4??4?π
0，?上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值的最大值小于或等于m，又y＝tan x在??4?为1．
答案：1 8．下列命题：
①存在x0<0，x20－2x0－3＝0； ②对于一切实数x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm． 其中，所有真命题的序号为________． 解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，
2
所以存在x0＝－1<0，使x0－2x0－3＝0，故①为真命题；
②显然为真命题；
③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题． 答案：①②
9．指出下列命题中的量词，并判断真假． (1)空间中所有的四边形都共面；
(2)任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数； (3)有的函数是非奇非偶函数． 解：(1)量词为“所有的”．是假命题． (2)量词为“任意”．是真命题． (3)量词为“有的”．是真命题．
10．若命题“?a0∈[1，3]，使a0x2＋(a0－2)x－2＞0”是真命题，求实数x的取值范围． 解：令f(a0)＝a0x2＋(a0－2)x－2＝(x2＋x)a0－2x－2，则f(a0)是关于a0的一次函数，由题意得，(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0．
即x2－x－2＞0或3x2＋x－2＞0， 2解得x＜－1或x＞．
3
[B 能力提升]
1??1?*x1－x
11．已知命题p：?x∈N，?≥，命题q：?x∈N，2＋2＝22，则下列命题?2??3?*
x
x
中为真命题的是( )
A．p∧q C．p∧(﹁q)
B．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)
1?11
解析：选C．因为y＝xn(n为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以?x∈N*，??2?23
x
1?x1－xx1－xx1－x≥?成立，p为真命题；因为2>0，2>0，所以2＋2≥22·2＝22，当且仅当?3?x
11
2x＝21－x，即x＝时等号成立．因为x＝?N*，所以q为假命题，所以p∧(﹁q)为真命题．
22
12．命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 C．a≥5
B．a≤4 D．a≤5
解析：选C．当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1，2]．又y＝x2在[1，2]上的最大值是4，所以a≥4．因为a≥4?/a≥5，a≥5?a≥4，故选C．
13．已知函数f(t)＝log2t，t∈[2，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
1?
解：易知f(t)∈??2，3?．
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对任意的1?m∈??2，3?恒成立．
1???g?2?>0?
所以?，
??g（3）>0
12??2（x－2）＋（x－2）>0即?，
2??3（x－2）＋（x－2）>0解得x<－1或x>2．
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
14．(选做题)函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0． (1)求f(0)的值；
(2)在(0，4)上存在实数x0，使得f(x0)＋6＝ax0成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2．又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，所以f(x)＋6＝x2＋x＋4．
f（x0）＋6
所以要在(0，4)上存在x0使f(x0)＋6＝ax0成立，只需在(0，4)上存在x0使a＝
x0
2x0＋x0＋444＝＝x0＋＋1．而x0＋＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当x＝2时成立．
x0x0x0
故所求a的取值范围为a≥5．
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1练习：1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词 Word版含解析
