22．（本小题满分13分）设a为非负实数，函数f(x)?xx?a?a. （Ⅰ）当a?2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y?f(x)的零点个数，并求出零点．
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理科数学试卷参考答案
一、选择题：
1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 6． C 7． D 8． C
二、填空题： 9.
24?5?． 10．??或． 11.65.62或44.38． 12.． 13.93. 276614.7500． 15.?3． 16. ②③ 2
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解析】：（Ⅰ）∵0?A??4 ∴
?4?A??4??2 由sin(?4?A)?72 10得cos(?4?A)?2…2分 10∴sinA?sin(∴cosA?（Ⅱ）
?4?A??4)=sin(?4?A)cos?4-cos(?A)sin??44=
3……4分 543……5分 ∴tanA?……6分 541bcsinA?24得c?10……8分 ∴a2?b2?c2?2bccosA?36 ∴a?6…12分 218．【解析】：（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 …………………………2分 （2）设Ai表示所取3人中有ｉ个人是“good sight”，至多有1人是“good sight”记为事件A，
312C12C4C12121?则P(A)?P(A0)?P(A1)?3? ……6分 3140C16C16（3）一 个人是“good sight”的概率 为
1 4ξ的可能取值为0、1、2、3 …………………7分
P(??0)?()?27271132 P(??1)?C3()? 6444649112123P(??3)?()3? P(??2)?C3() ?4644464343分布列为
ξ P 0 27 641 2 3 1 6427 649 642012届高三年级第一次阶段考试 理科数学试题 第 7 页 共 11 页
…………10分
E??0.75. ……………………12分
19．【解析】：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，………… 1分
因为APBP，所以PDAB.
又ACBC，所以CDAB. ………………… 2分 因为PDCDD，所以AB平面PCD. E 因为PC平面PCD，所以PCAB. ……… 3分 （Ⅱ）由已知ACB所以AD又
P
D
B
C
90，ACBC2，
22.
A
BDCD2，ABPAB为正三角形，且PD22，所以PC2AB，所以PDCD26. …………………… 5分
因为PCPD2. 所以CDP90.
由（Ⅰ）知CDP是二面角PABC的平面角.
所以平面PAB平面ABC. …………………………………………… 6分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD平面PAB.
过D作DEPA于E，连结CE，则CEPA.
所以DEC是二面角BAPC的平面角. ………………………………… 10分
在RtCDE中，易求得DE6. 因为CD22，所以tanDECCDDE23. 3所以cosDEC21. 即二面角B7APC的余弦值为
21.…… 12分 7方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP两两垂直.
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
易知D(0, 0, 0)，C(2, 0, 0)，A(0,所以AC2, 0)，P(0, 0, 6). z P (2,2, 0)，PC(2, 0, 6).
设平面PAC的法向量为n(x, y, z)， 2y6z3. 3则
nACnPC0,0. 即
2x2x0,0.D
A x C B y 令x1，则y1，z2012届高三年级第一次阶段考试 理科数学试题 第 8 页 共 11 页
所以平面PAC的一个法向量为n易知平面PAB的一个法向量为DC所以cos(1, 1, 3). ……………………… 10分 3(2, 0, 0).
21. …………………………………… 11分 7n, DCnDC|n||DC|由图可知，二面角BAPC为锐角. 所以二面角BAPC的余弦值为
21. 12分 720．【解析】：（Ⅰ）依题意：
∴
an?1?2an?k ∴bn?an?1?an?2an?k?an?an?k，
（*）
bn?1?an?1?k?2an?k?k?2(an?k)?2bn，
bn?1?2bn
∵b1?2， ∴∴
. ∴ 数列{
bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
bn?2?2n?1?2n，即为数列
?bn?的通项公式。 ┉┉┉┉┉6分
11ncn?bnlog2?2?log2n??n?2nbn2（Ⅱ）
∴ ∴
?Sn?1?2?2?22?3?23?????n?2n??????(3)
?2Sn?1?22?2?23?3?24?????(n?1)?2n?n?2n?1??????(4)
2(1?2n)??n?2n?1?2n?1?n?2n?1?21?2
（3）-（4）得
Sn?2?2?2?????2?n?223nn?12n?1?Sn?60n?2，即?n?2n?1?60n，?2n?1?60
n?15n?16又当n?4时，?2?2?32?60 当n?5时，?2?2?64?60
n?12?Sn?60?n?2成立的正整数n的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉13分 故使
21．【解析】：
(1)C3?(?15)(?16)(?17)??680 . （4分）
?153!2012届高三年级第一次阶段考试 理科数学试题 第 9 页 共 11 页
3(2) Cx(C)12x?x(x?1)(x?2)12 . （7分）
?(x??3)26x6x∵ x > 0 , x?2?22 . x3Cx当x?2时，2(C1)x当且仅当x?2时，等号成立. ∴
取得最小值. （8分）
（3）性质①不能推广，例如当x?2时，C12有定义，但C2?1无意义; 2（10分）
mm?1m性质②能推广，它的推广形式是Cx，x?R , m是正整数. （11分） ?Cx?Cx?101事实上，当m＝１时，有C1. x?Cx?x?1?Cx?1当m≥２时.Cm?Cm?1?x(x?1)?(x?m?1)?x(x?1)?(x?m?2)
xxm!(m?1)!?x(x?1)?(x?m?2)?x?m?1?x(x?1)?(x?m?2)(x?1)?1???(m?1)!m!?m?m（13分） ?Cx?1．
22．【解析】：
2??x?2x?2,x?2（Ⅰ）当a?2时，f(x)?xx?2?2??2，
???x?2x?2,x?222① 当x?2时，f(x)?x?2x?2?(x?1)?3， ∴f(x)在(2,??)上单调递增； ② 当x?2时，f(x)??x?2x?2??(x?1)?1，
∴f(x)在(1,2)上单调递减，在(??,1)上单调递增； 综上所述，f(x)的单调递增区间是(??,1)和(2,??)，单调递减区间是(1,2). （Ⅱ）（1）当a?0时，f(x)?x|x|，函数y?f(x)的零点为x0?0；
2??x?ax?a,x?a（2）当a?0时，f(x)?xx?a?a??2，
???x?ax?a,x?a22a2a2a?a，二次函数对称轴x??a， 故当x?a时，f(x)?(x?)?242∴f(x)在(a,??)上单调递增，f(a)?0；
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